2009年辽宁（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年辽宁（理科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内, M, N 分别为 AB, DF 的中点. (1) 若平面ABCD ⊥平面DCEF, 求直线MN 与平面DCEF 所成角的 正值弦; (2) 用反证法证明: 直线ME 与BN 是两条异面直线. A B M F C D E N
2. 2. 某人向一目射击4 次, 每次击中目标的概率为1 3. 该目标分为3 个不同的 部分, 第一、二、三部分面积之比为1 : 3 : 6. 击中目标时, 击中任何一部 分的概率与其面积成正比. (1) 设X 表示目标被击中的次数, 求X 的分布列; (2) 若目标被击中2 次, A 表示事件“第一部分至少被击中1 次或第二部分 被击中2 次”, 求P(A).
3. 3. 已知椭圆C 过点A ( 1, 3 2 ) , 两个焦点为(−1, 0), (1, 0). (1) 求椭圆C 的方程; (2) E, F 是椭圆C 上的两个动点, 如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互 为相反数, 证明直线EF 的斜率为定值, 并求出这个定值.
4. 4. 已知函数f(x) = 1 2x2 −ax + (a −1) ln x, a > 1. (1) 讨论函数f(x) 的单调性; (2) 证明: 若a < 5, 则对于任意x1, x2 ∈(0, +∞), x1̸ = x2, 有 f(x1) −f(x2) x1 −x2 > −1.
5. 5. 三选一. 【A】已知△ABC 中, AB = AC, D 是△ABC 外接圆劣弧˜ AC 上的点(不 与点A, C 重合), 延长BD 至E. (1) 求证: AD 的延长线平分∠CDE; (2) 若∠BAC = 30◦, △ABC 中BC 边上的高为2 + √ 3, 求△ABC 外接 圆的面积. A E B C D 【B】在直角坐标系xOy 中, 以O 为极点, x 正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρ cos ( θ −π 3 ) = 1, M, N 分别为C 与x 轴, y 轴 的交点. (1) 写出C 的直角坐标方程, 并求M, N 的极坐标; (2) 设MN 的中点为P, 求直线OP 的极坐标方程. 【C】设函数f(x) = |x −1| + |x −a|. (1) 若a = −1, 解不等式f(x) ⩾3; (2) 如果∀x ∈R, f(x) ⩾2, 求a 的取值范围. 538

原卷配图（含真实几何/应用题图示）