2009年重庆（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年重庆（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 圆心在y 轴上, 半径为1, 且过点(1, 2) 的圆的方程为 ( ) 5分
   A. x2 + (y −2)2 = 1 B. x2 + (y + 2)2 = 1 C. (x −1)2 + (y −3)2 = 1 D. x2 + (y −3)2 = 1
2. 2. 命题“若一个数是负数, 则它的平方是正数”的逆命题是 ( ) 5分
   A. “若一个数是负数, 则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数, 则它是负数” C. “若一个数不是负数, 则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数, 则它不是负数”
3. 3. (x + 2)6 的展开式中x3 的系数是 ( ) 5分
   A. 20 B. 40 C. 80 D. 160
4. 4. 已知向量a = (1, 1), b = (2, x). 若a + b 与4b −2a 平行, 则实数x 的值 是 ( ) 5分
   A. −2 B. 0 C. 1 D. 2
5. 5. 设{an} 是公差不为0 的等差数列, a1 = 2 且a1, a3, a6 成等比数列, 则 {an} 的前n 项和Sn= ( ) 4 + 7n 4 3 + 5n 3 2 + 3n 4 5分
   A. n2 B. n2 C. n2 D. n2 + n
6. 6. 下列关系式中正确的是 ( ) 5分
   A. sin 11◦< cos 10◦< sin 168◦ B. sin 168◦< sin 11◦< cos 10◦ C. sin 11◦< sin 168◦< cos 10◦ D. sin 168◦< cos 10◦< sin 11◦
7. 7. 已知a > 0, b > 0, 则1 √ ab 的最小值是 ( ) √ 2 5分
   A. + 1 B. + 2 A. 2 B. 2 C. 4 D. 5
8. 8. 12 个篮球队中有3 个强队, 将这12 个队任意分成3 个组(每组4 个队), 则3 个强队恰好被分在同一组的概率为 ( ) 55 55 4 3 5分
   A. 1 B. 3 C. 1 D. 1
9. 9. 在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 顶点B1 到对角线BD1 和到平面 A1BCD1 的距离分别为h 和d, 则下列命题中正确的是 ( ) (√ 2 2 , 2 √ 3 3 ) ( 2 √ 3 3 , √ 2 ) ( 2 √ 3 3 , +∞ ) 5分
   A. 若侧棱的长小于底面的边长, 则h D. 的取值范围为(0, 1) B. 若侧棱的长小于底面的边长, 则h D. 的取值范围为 C. 若侧棱的长大于底面的边长, 则h D. 的取值范围为 D. 若侧棱的长大于底面的边长, 则h D. 的取值范围为
10. 10. 把函数f(x) = x3 −3x 的图象C1 向右平移u 个单位长度, 再向下平移v 个单位长度后得到图象C2. 若对任意的u > 0, 曲线C1 与C2 至多只有一 个交点, 则v 的最小值为 ( ) 5分
    A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若U = {n | n 是小于9 的正整数}, A = {n ∈U | n 是奇数}, B = {n ∈U | n 是3 的倍数}, 则∁U(A ∪B) = . 5分
2. 2. 记f(x) = log3(x + 1) 的反函数为y = f −1(x), 则方程f −1(x) = 8 的解 x = . 5分
3. 3. 5 个人站成一排, 其中甲、乙两人不相邻的排法有 种. (用数字作答) 5分
4. 4. 从一堆苹果中任取5 只, 称得它们的质量如下(单位: 克) 125 124 121 123 127 则该样本标准差s = (克). (用数字作答) 5分
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1(−c, 0), F2(c, 0). 若椭圆上存在一点P 使 a sin ∠PF1F2 = c sin ∠PF2F1 , 则该椭圆的离心率的 取值范围为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = (sin ωx + cos ωx)2 + 2cos2ωx (ω > 0) 的最小正周期为2π 3 . (1) 求ω 的最小正周期. (2) 若函数y = g(x) 的图象是由y = f(x) 的图象向右平移π 2 个单位长度 得到, 求y = g(x) 的单调增区间.
2. 2. 某单位为绿化环境, 移栽了甲、乙两种大树各2 株. 设甲、乙两种大树移 栽的成活率分别为5 6 和4 5, 且各株大树是否成活互不影响. 求移栽的4 株 大树中: (1) 至少有1 株成活的概率; (2) 两种大树各成活1 株的概率.
3. 3. 如图, 在五面体ABCDEF 中, AB DC, ∠BAD = π 2 , CD = AD = 2, 四边形ABFE 为平行四边形, FA ⊥平面ABCD, FC = 3, ED = √ 7. 求: (1) 直线AB 到平面EFCD 的距离; (2) 二面角F −AD −E 的平面角的正切值. C B D A E F 505
4. 4. 已知f(x) = x2 + bx + c 为偶函数, 曲线y = f(x) 过点(2, 5), g(x) = (x + a)f(x). (1) 求曲线y = g(x) 有斜率为0 的切线, 求实数a 的取值范围; (2) 若当x = −1 时函数y = g(x) 取得极值, 确定y = g(x) 的单调区间.
5. 5. 已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x = √ 5 5 , 离心率e = √ 5. (1) 求该双曲线的方程; (2) 如图, 点A 的坐标为 ( − √ 5, 0 ) , B 是圆x2 + ( y − √ 5 )2 = 1 上的点, 点 M 在双曲线右支上, 求|MA| + |MB| 的最小值, 并求此时M 点的坐标. x y O A M B •
6. 6. 已知a1 = 1, a2 = 4, an+2 = 4an+1 + an, bn = an+1 an , n ∈N∗. (1) 求b1, b2, b3 的值; (2) 设cn = bnbn+1, Sn 为数列{cn} 的前n 项和, 求证: Sn ⩾17n; (3) 求证: |b2n −bn| < 1 64 · 1 17n−2 . 506

原卷配图（含真实几何/应用题图示）