本卷为官方高考数学真题（2009年重庆（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 直线y = x + 1 与圆x2 + y2 = 1 的位置关系是
(
) 5分
A. 相切
B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心
D. 相离
-
2. 已知复数z 的实部为−1, 虚部为2, 则5i
z =
(
) 5分
A. 2 −i
B. 2 + i
C. −2 −i
D. −2 + i
-
3. (
x2 + 2
x
)8
的展开式中x4 的系数是
(
) 5分
A. 16
B. 70
C. 560
D. 1120
-
4. 已知|a| = 1, |b| = 6, a · (b −a) = 2, 则向量a 与b 的夹角是
(
)
6
4
3
2 5分
A. π
B. π
C. π
D. π
-
5. 不等式|x + 3| −|x −1| ⩽a2 −3a 对任意实数x 恒成立, 则实数a 的取值
范围为
(
) 5分
A. (−∞, −1] ∪[4, +∞)
B. (−∞, −2] ∪[5, +∞)
C. [1, 2]
D. (−∞, 1] ∪[2, +∞)
-
6. 锅中煮有芝麻馅汤圆6 个, 花生馅汤圆5 个, 豆沙馅汤圆4 个, 这三种汤圆
的外部特征完全相同. 从中任意舀取4 个汤圆, 则每种汤圆都至少取到1
个的概率为
(
)
91
91
91
91 5分
A. 8
B. 25
C. 48
D. 60
-
7. 设△ABC 的三个内角A, B, C, 向量m =
(√
3 sin A, sin B
)
, n =
(
cos B,
√
3 cos A
)
, 若m · n = 1 + cos(A + B), 则C =
(
)
6
3
3
6 5分
A. π
B. π
C. 2π
D. 5π
-
8. 已知lim
x→∞
( 2x2
x + 1 −ax −b
)
= 2, 其中a, b ∈R, 则a −b 的值为
(
) 5分
A. −6
B. −2
C. 2
D. 6
-
9. 已知二面角α −l −β 的大小为50◦, P 为空间中任意一点, 则过点P 且与
平面α 和平面β 所成的角都是25◦的直线的条数为
(
) 5分
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
-
10. 已知以T = 4 为周期的函数f(x) =
{
m
√
1 −x2,
x ∈(−1, 1],
1 −|x −2|,
x ∈(1, 3],
其中
m > 0. 若方程3f(x) = x 恰有5 个实数解, 则m 的取值范围为
(
)
(A)
(√
15
3 , 8
3
)
(B)
(√
15
3 ,
√
7
)
(C)
(4
3, 8
3
)
(D)
(4
3,
√
7
) 5分
-
1. 若A = {x ∈R | |x| < 3}, B = {x ∈R | 2x > 1}, 则A ∩B =
. 5分
-
2. 若f(x) =
1
2x −1 + a 是奇函数, 则a =
. 5分
-
3. 将4 名大学生分配到3 个乡镇去当村官, 每个乡镇至少一名, 则不同的分
配方案有
种. (用数字作答) 5分
-
4. 设a1 = 2, an+1 =
2
an + 1, bn =
an + 2
an −1
, n ∈N∗, 则数列{bn} 的通项
bn =
. 5分
-
5. 已知双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1(−c, 0),
F2(c, 0). 若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF1F2
sin ∠PF2F1
= a
率的取值范围为
. 5分
C. , 则该双曲线的离心
-
1. 设函数f(x) = sin
(π
4 x −π
6
)
−2 cos2 π
8 x + 1.
(1) 求f(x) 的最小正周期;
(2) 若函数y = g(x) 与y = f(x) 的图象关于直线x = 1 对称, 求当
x ∈
[
0, 4
3
]
时y = g(x) 的最大值.
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2. 某单位为绿化环境, 移栽了甲、乙两种大树各2 株. 设甲、乙两种大树移
栽的成活率分别为2
3 和1
2, 且各株大树是否成活互不影响. 求移栽的4 株
大树中:
(1) 两种大树各成活1 株的概率;
(2) 成活的株数ξ 的分布列与期望.
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3. 设函数f(x) = ax2 +bx+k (k > 0) 在x = 0 处取得极值, 且曲线y = f(x)
在点(1, f(1)) 处的切线垂直于直线x + 2y + 1 = 0.
(1) 求a, b 的值;
(2) 若函数g(x) =
ex
f(x), 讨论g(x) 的单调性.
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4. 如图, 在四棱锥S −ABCD 中, AD
BC 且AD ⊥CD; 平面CSD ⊥
平面ABCD, CS ⊥DS, CS = 2AD = 2, E 为BS 的中点, CE =
√
2,
AS =
√
3. 求:
(1) 点A 到平面BCS 的距离;
(2) 二面角E −CD −A 的大小.
C
B
D
A
E
S
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5. 已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为x = 4
√
3
3 , 离心率e =
√
3
2 ,
M 是椭圆上的动点.
(1) 若点C, D 的坐标分别是
(
0, −
√
3
)
,
(
0,
√
3
)
, 求|MC| · |MD| 的最大
值;
(2) 如图, 点A 的坐标为(1, 0), B 是圆x2 + y2 = 1 上的点, N 是点M 在
x 轴上的射影, 点Q 满足条件: # »
OQ = # »
OM + # »
ON, # »
QA · # »
BA = 0. 求线段
QB 的中点P 的轨迹方程.
x
y
O
N
A
B
M
Q
-
6. 设m 个不全相等的正数a1, a2, · · · , am (m ⩾7) 依次围成一个圆圈.
(1) 若m = 2009, 且a1, a2, · · · , a1005 是公差为d 的等差数列, 而a1, a2009,
a2008, · · · , a1006 是公比为q 的等比数列; 数列a1, a2, · · · , am 的前n 项和
Sn (n ⩽m) 满足: S3 = 15, S2009 = S2007 + 12a1, 求通项an (n ⩽m);
(2) 若每个数an (n ⩽m) 是其左右相邻两数平方的等比中项, 求证:
a1 + · · · + a6 + a2
7 + · · · + a2
m > ma1a2 · · · am.
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