2009年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年陕西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设不等式x2 −x ⩽0 的解集为M, 函数f(x) = ln(1 −|x|) 的定义域为N, 则M ∩N 为 ( ) 5分
   A. [0, 1) B. (0, 1) C. [0, 1] D. (−1, 0]
2. 2. 若tan α = 2, 则2 sin α −cos α sin α + 2 cos α 的值为 ( ) 4 4 5分
   A. 0 B. 3 C. 1 D. 5
3. 3. 函数f(x) = √2x −4 (x ⩾4) 的反函数为 ( ) 2x2 + 4 (x ⩾0) 2x2 + 4 (x ⩾2) 2x2 + 2 (x ⩾0) 2x2 + 2 (x ⩾2) 5分
   A. f −1(x) = 1 B. f −1(x) = 1 C. f −1(x) = 1 D. f −1(x) = 1
4. 4. 过原点且倾斜角为60◦的直线被圆x2 + y2 −4y = 0 所截得的弦长为( ) (A) √ 3 (C) √ 6 √ 3 5分
   B. 2 D. 2
5. 5. 某单位共有老、中、青职工430 人, 其中青年职工160 人, 中年职工人数是 老年职工人数的2 倍. 为了解职工身体状况, 现采用分层抽样方法进行调 查, 在抽取的样本中有青年职工32 人, 则该样本中的老年职工人数为( ) 5分
   A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
6. 6. 若(1 −2x)2009 = a0+a1x+· · ·+a2009x2009 (x ∈R), 则a1 2 + a2 22 +· · ·+ a2009 22009 的值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 0 C. −1 D. −2
7. 7. “m > n > 0”是“方程mx2 + ny2 = 1 表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 在△ABC 中, M 是BC 的中点, AM = 1, 点P 在AM 上且满足 # » AP = 2# » PM, 则# » PA · (# » PB + # » PC) 等于 ( ) 9 3 3 9 5分
   A. 4 B. 4 C. −4 D. −4
9. 9. 从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重 复数字的四位数, 其中奇数的个数为 ( ) 5分
   A. 432 B. 288 C. 216 D. 108
10. 10. 定义在R 上的偶函数f(x) 满足: 对任意的x1, x2 ∈[0, +∞) (x1̸ = x2), 有f(x2) −f(x1) x2 −x1 < 0. 则 ( ) 5分
    A. f(3) < f(−2) < f(1) B. f(1) < f(−2) < f(3) C. f(−2) < f(1) < f(3) D. f(3) < f(1) < f(−2)
11. 11. 若正方体的棱长为 √ 2, 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的 体积为 ( ) (A) √ 2 6 (B) √ 2 3 (C) √ 3 3 3 5分
    D. 2
12. 12. 设曲线y = xn+1 (n ∈N∗) 在点(1, 1) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为 xn, 则x1 · x2 · · · · · xn 的值为 ( ) n (B) 1 n + 1 (C) n n + 1 5分
    A. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若a6 = S3 = 12, 则{an} 的通项 an = . 5分
2. 2. 设x, y 满足约束条件        x + y ⩾1, x −y ⩾−1, 2x −y ⩽2, 目标函数z = x + 2y 的最小值 是 , 最大值是 . 5分
3. 3. 如图球O 的半径为2, 圆O1 是一小圆, O1O = √ 2, A, B 是圆O1 上两点. 若A, B 两点间的球面距离为2π 3 , 则∠AO1B = . O A B O1 5分
4. 4. 某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组, 每名同学至多参加 两个小组, 已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26, 15, 13, 同时 参加数学和物理小组的有6 人, 同时参加物理和化学小组的有4 人, 则同 时参加数学和化学小组的有 人. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = A sin(ωx + φ), x ∈R (其中A > 0, ω > 0, 0 < φ < π 2 ) 的周期为π, 且图象上一个最低点为M (2π 3 , −2 ) . (1) 求f(x) 的解析式; (2) 当x ∈ [ 0, π 12 ] 时, 求f(x) 的最值.
2. 2. 椐统计, 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0, 1, 2 的概率分别为 0.4, 0.5, 0.1. (1) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1 次的概率; (2) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响, 求该企业在这两 个月内共被消费者投诉2 次的概率.
3. 3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = 1, AC = AA1 = √ 3, ∠ABC = 60◦. (1) 证明: AB ⊥A1C; (2) 求二面角A −A1C −B 的大小. A C B A1 C1 B1 551
4. 4. 已知函数f(x) = x3 −3ax −1, a̸ = 0. (1) 求f(x) 的单调区间; (2) 若f(x) 在x = −1 处取得极值, 直线y = m 与y = f(x) 的图象有三 个不同的交点, 求m 的取值范围.
5. 5. 已知数列{an} 满足a1 = 1, a2 = 2, an+2 = an + an+1 2 , n ∈N∗. (1) 令bn = an+1 −an, 证明: {bn} 是等比数列; (2) 求{an} 的通项公式.
6. 6. 已知双曲线C 的方程为y2 a2 −x2 b2 = 1 (a > 0, b > 0), 离心率e = √ 5 2 , 顶 点到渐近线的距离为2 √ 5 5 . (1) 求双曲线C 的方程; (2) 如图, P 是双曲线C 上一点, A, B 两点在双曲线C 的两条渐近线上, 且分别位于第一、二象限, 若# » AP = λ# » PB, λ ∈ [1 3, 2 ] , 求△AOB 面积的 取值范围. x y O A B P • • • 552

原卷配图（含真实几何/应用题图示）