本卷为官方高考数学真题（2009年陕西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设不等式x2 −x ⩽0 的解集为M, 函数f(x) = ln(1 −|x|) 的定义域为N,
则M ∩N 为
(
) 5分
A. [0, 1)
B. (0, 1)
C. [0, 1]
D. (−1, 0]
-
2. 已知z 是纯虚数, z + 2
1 −i 是实数, 那么z 等于
(
) 5分
A. 2i
B. i
C. −i
D. −2i
-
3. 函数f(x) = √2x −4 (x ⩾4) 的反函数为
(
)
2x2 + 2 (x ⩾0)
2x2 + 2 (x ⩾2)
2x2 + 4 (x ⩾0)
2x2 + 4 (x ⩾2) 5分
A. f −1(x) = 1
B. f −1(x) = 1
C. f −1(x) = 1
D. f −1(x) = 1
-
4. 过原点且倾斜角为60◦的直线被圆x2 + y2 −4y = 0 所截得的弦长为(
)
(A)
√
3
(C)
√
6
√
3 5分
B. 2
D. 2
-
5. 若3 sin α + cos α = 0, 则
1
cos2α + sin 2α 的值为
(
)
3
3
3 5分
A. 10
B. 5
C. 2
D. −2
-
6. 若(1 −2x)2009 = a0+a1x+· · ·+a2009x2009 (x ∈R), 则a1
2 + a2
22 +· · ·+ a2009
22009
的值为
(
) 5分
A. 2
B. 0
C. −1
D. −2
-
7. “m > n > 0”是“方程mx2 + ny2 = 1 表示焦点在y 轴上的椭圆”的
(
) 5分
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
8. 在△ABC 中, M 是BC 的中点, AM = 1, 点P 在AM 上且满足
# »
AP = 2# »
PM, 则# »
PA · (# »
PB + # »
PC) 等于
(
)
9
3
3
9 5分
A. −4
B. −4
C. 4
D. 4
-
9. 从0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重复数
字的四位数的个数为
(
) 5分
A. 300
B. 216
C. 180
D. 162
-
10. 若正方体的棱长为
√
2, 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的
体积为
(
)
(A)
√
2
6
(B)
√
2
3
(C)
√
3
3
3 5分
D. 2
-
11. 若x, y 满足约束条件
x + y ⩾1,
x −y ⩾−1,
2x −y ⩽2,
目标函数z = ax + 2y 仅在点(1, 0)
处取得最小值, 则a 的取值范围是
(
) 5分
A. (−1, 2)
B. (−4, 2)
C. (−4, 0]
D. (−2, 4)
-
12. 定义在R 上的偶函数f(x) 满足: 对任意的x1, x2 ∈(−∞, 0] (x1̸ = x2),
有(x2 −x1)(f(x2) −f(x1)) > 0. 则当n ∈N∗时, 有
(
) 5分
A. f(−n) < f(n −1) < f(n + 1)
B. f(n −1) < f(−n) < f(n + 1)
C. f(n + 1) < f(−n) < f(n −1)
D. f(n + 1) < f(n −1) < f(−n)
-
1. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若a6 = S3 = 12, 则lim
n→∞
Sn
n2 =
. 5分
-
2. 某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组, 每名同学至多参加
两个小组, 已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26, 15, 13, 同时
参加数学和物理小组的有6 人, 同时参加物理和化学小组的有4 人, 则同
时参加数学和化学小组的有
人. 5分
-
3. 如图球O 的半径为2, 圆O1 是一小圆, O1O =
√
2, A, B 是圆O1 上两点.
若A, B 两点间的球面距离为2π
3 , 则∠AO1B =
.
O
A
B
O1 5分
-
4. 设曲线y = xn+1 (n ∈N∗) 在点(1, 1) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为
xn, 令an = lg xn, 则a1 + a2 + · · · + a99 的值为
. 5分
-
1. 已知函数f(x) = A sin(ωx + φ), x ∈R (其中A > 0, ω > 0, 0 < φ < π
2 )
的图象与x 轴的交点中, 相邻两个交点之间的距离为π
2 , 且图象上一个最
低点为M
(2π
3 , −2
)
.
(1) 求f(x) 的解析式;
(2) 当x ∈
[ π
12, π
2
]
, 求f(x) 的值域.
-
2. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = 1, AC = AA1 =
√
3,
∠ABC = 60◦.
(1) 证明: AB ⊥A1C;
(2) 求二面角A −A1C −B 的大小.
A
C
B
A1
C1
B1
-
3. 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ 表示, 椐统计, 随机变量ξ
的概率分布如下:
ξ
0
1
2
3
p
0.1
0.3
2a
a
(1) 求a 的值和ξ 的数学期望;
(2) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响, 求该企业在这两
个月内共被消费者投诉2 次的概率.
549
-
4. 已知函数f(x) = ln(ax + 1) + 1 −x
1 + x, x ⩾0, 其中a > 0.
(1) 若f(x) 在x = 1 处取得极值, 求a 的值;
(2) 求f(x) 的单调区间;
(3) 若f(x) 的最小值为1, 求a 的取值范围.
-
5. 已知双曲线C 的方程为y2
a2 −x2
b2 = 1 (a > 0, b > 0), 离心率e =
√
5
2 , 顶
点到渐近线的距离为2
√
5
5 .
(1) 求双曲线C 的方程;
(2) 如图, P 是双曲线C 上一点, A, B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,
且分别位于第一、二象限, 若# »
AP = λ# »
PB, λ ∈
[1
3, 2
]
, 求△AOB 面积的
取值范围.
x
y
O
A
B
P
•
•
•
-
6. 已知数列{xn} 满足x1 = 1
2, xn+1 =
1
1 + xn
, n ∈N∗.
(1) 猜想数列{xn} 的单调性, 并证明你的结论;
(2) 证明: |xn+1 −xn| ⩽1
6
(2
5
)n−1
.
550
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