2010年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年上海（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 3, m}, B = {3, 4}, A∪B = {1, 2, 3, 4}, 则m = . 5分
2. 2. 不等式2 −x x + 4 > 0 的解集是 . 5分
3. 3. 行列式  cos π 6 sin π 6 sin π 6 cos π 6  的值是 . 5分
4. 4. 若复数z = 1 −2i (i 为虚数单位), 则z · z + z = . 5分
5. 5. 将一个总体为A、B、C 三层, 其个体数之比为5 : 3 : 2. 若用分层抽样方 法抽取容量为100 的样本, 则应从中抽取 个个体. 5分
6. 6. 已知四棱椎P −ABCD 的底面是边长为6 的正方形, 侧棱PA ⊥底面 ABCD, 且PA = 8, 则该四棱椎的体积是 . 5分
7. 7. 圆C: x2 + y2 −2x −4y + 4 = 0 的圆心到直线l: 3x + 4y + 4 = 0 的距离 . 5分
   D. =
8. 8. 动点P 到点F (2, 0) 的距离与它到直线x + 2 = 0 的距离相等, 则点P 的 轨迹方程为 . 5分
9. 9. 函数f (x) = log3 (x + 3) 的反函数的图象与y 轴的交点坐标是 . 5分
10. 10. 从一副混合后的扑克牌(52 张) 中随机抽取2 张, 则“抽出的2 张均为红 桃”的概率为 . (结果用最简分数表示) 5分
11. 11. 2010 年上海世博会园区每天9 : 00 开园, 20 : 00 停止入园. 在下边的框图 中, S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数, a 表示整点 报道前1 个小时内入园人数, 则空白的执行框内应填入 . 开始 T ←9, S ←0 输出T, S T ⩽19 T ←T + 1 输入a 结束 是 否 5分
12. 12. 在n 行n 列矩阵         1 2 3 · · · n −2 n −1 n 2 3 4 · · · n −1 n 1 3 4 5 · · · n 1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · n 1 2 · · · n −3 n −2 n −1         中, 记 位于第i 行第j 列的数为aij (i, j = 1, 2, · · · , n). 当n = 9 时, a11 + a22 + a33 + · · · + a99 = . 5分
13. 13. 在平面直角坐标系中, 双曲线Γ 的中心在原点, 它的一个焦点坐标为 ( √ 5, 0), #» e1 = (2, 1), #» e2 = (2, −1) 分别是两条渐近线的方向向量. 任取 双曲线Γ 上的点P, 若# » OP = a#» e1 + b#» e2 (a, b ∈R), 则a、b 满足的一个等 式是 . 5分
14. 14. 将直线l1: x + y −1 = 0, l2: nx + y −n = 0, l3: x + ny −n = 0 (n ∈N∗, n ⩾2) 围成的三角形面积记为Sn, 则lim n→∞Sn = . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 满足线性约束条件              2x + y ⩽3, x + 2y ⩽3, x ⩾0, y ⩾0 的目标函数z = x + y 的最大值是 ( ) 2 5分
   A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
2. 2. “x = 2kπ + π 4 (k ∈Z)”是“tan x = 1”成立的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 若x0 是方程lg x + x = 2 的解, 则x0 属于区间 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. (1, 1.25) C. (1.25, 1.75) D. (1.75, 2)
4. 4. 若△ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 5 : 11 : 13, 则 △ABC ( ) 5分
   A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知0 < x < π 2 , 化简: lg ( cos x · tan x + 1 −2sin2 x 2 ) + lg [√ 2 cos ( x −π 4 )] −lg (1 + sin 2x).
2. 2. 如图所示, 为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作4 个全等的矩形骨架, 总计 耗用9.6 米铁丝, 再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装 上底面). (1) 当圆柱底面半径r 取何值时, S 取得最大值? 并求出该最大值(结果精 确到0.01 平方米); (2) 若要制作一个如图放置的, 底面半径为0.3 米的灯笼, 请作出用于灯笼 的三视图(作图时, 不需考虑骨架等因素). 629
3. 3. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, 且Sn = n −5an −85, n ∈N∗. (1) 证明: {an −1} 是等比数列; (2) 求数列{Sn} 的通项公式, 并求出使得Sn+1 > Sn 成立的最小正整数n.
4. 4. 若实数x、y、m 满足|x −m| < |y −m|, 则称x 比y 接近m. (1) 若x2 −1 比3 接近0, 求x 的取值范围; (2) 对任意两个不相等的正数a、b, 证明: a2b+ab2 比a3 +b3 接近2ab √ ab; (3) 已知函数f (x) 的定义域D = {x | x̸ = kπ, k ∈Z, x ∈R}. 任取 x ∈D, f (x) 等于1+sin x 和1−sin x 中接近0 的那个值. 写出函数f (x) 的解析式, 并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求 证明).
5. 5. 已知椭圆Γ 的方程为x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), A(0, b)、B(0, −b) 和Q(a, 0) 为Γ 的三个顶点. (1) 若点M 满足# » AM = 1 2 (# » AQ + # » AB ) , 求点M 的坐标; (2) 设直线l1: y = k1x + p 交椭圆Γ 于C、D 两点, 交直线l2: y = k2x 于点E. 若k1 · k2 = −b2 a2 , 证明: E 为CD 的中点; (3) 设点P 在椭圆Γ 内且不在x 轴上, 如何作过PQ 中点F 的直线l, 使 得l 与椭圆Γ 两个交点P1、P2 满足# » PP1 + # » PP2 = # » PQ? 令a = 10, b = 5, 点P 的坐标是(−8, −1). 若椭圆Γ 上的点P1、P2 满足# » PP1 + # » PP2 = # » PQ, 求点P1、P2 的坐标. 630

原卷配图（含真实几何/应用题图示）