2010年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 不等式2 −x x + 4 > 0 的解集为 . 5分
2. 2. 若复数z = 1 −2i (i 为虚数单位), 则z · z + z = . 5分
3. 3. 动点P 到点F (2, 0) 的距离与它到直线x + 2 = 0 的距离相等, 则点P 的 轨迹方程为 . 5分
4. 4. 行列式  cos π 3 sin π 6 sin π 3 cos π 6  的值是 . 5分
5. 5. 圆C: x2 + y2 −2x −4y + 4 = 0 的圆心到直线l: 3x + 4y + 4 = 0 的距离 . 5分
   D. =
6. 6. 随机变量ξ 的概率分布由下表给出: x 7 8 9 10 P (ξ = x) 0.3 0.35 0.2 0.15 则该随机变量ξ 的均值是 . 5分
7. 7. 2010 年上海世博会园区每天9 : 00 开园, 20 : 00 停止入园. 在下边的框图 中, S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数, a 表示整点 报道前1 个小时内入园人数, 则空白的执行框内应填入 . 开始 T ←9, S ←0 输出T, S T ⩽19 T ←T + 1 输入a 结束 是 否 5分
8. 8. 对任意不等于1 的正数a, 函数f (x) = loga (x + 3) 的反函数的图象都经 过点P, 则点P 的坐标为 . 5分
9. 9. 从一副混合后的扑克牌(52 张) 中, 随机抽取1 张, 事件A 为“抽得红桃 K”, 事件B 为“抽得为黑桃”, 则概率P (A ∪B) = . (结果用最简分 数表示) 5分
10. 10. 在n 行n 列矩阵         1 2 3 · · · n −2 n −1 n 2 3 4 · · · n −1 n 1 3 4 5 · · · n 1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · n 1 2 · · · n −3 n −2 n −1         中, 记 位于第i 行第j 列的数为aij (i, j = 1, 2, · · · , n). 当n = 9 时, a11 + a22 + a33 + · · · + a99 = . 5分
11. 11. 将直线l1: nx + y −n = 0, l2: x + ny −n = 0 (n ∈N∗, n ⩾2), x 轴, y 轴 围成的封闭区域的面积记为Sn, 则lim n→∞Sn = . 5分
12. 12. 如图所示, 在边长为4 的正方形纸片ABCD 中, AC 与BD 相交于点O, 剪去△AOB, 将剩余部分沿OC、OD 折叠, 使OA、OB 重合, 则以A (B)、 . A B D C O 5分
    C. D、O 为顶点的四面体的体积是
13. 13. 如图所示, 直线x = 2 与双曲线Γ: x2 4 −y2 = 1 的渐近线交于E1、E2 两 点, 记# » OE1 = #» e1, # » OE2 = #» e2, 任取双曲线Γ 上的点P, 若# » OP = a#» e1 + b#» e2 (a, b ∈R), 则a、b 满足的一个等式是 . x y O E1 E2 5分
14. 14. 从集合U = {a, b, c, d} 的子集中选出4 个不同的子集, 需同时满足以下 两个条件: (1) ∅, U 都要选出; (2) 对选出的任意两个子集A 和B, 必有A ⊆B 或A ⊇B. 那么, 共有 种不同的选法. 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. “x = 2kπ + π 4 (k ∈Z)”是“tan x = 1”成立的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 2. 直线l 的参数方程是 { x = 1 + 2t, y = 2 −t, (t ∈R), 则l 的方向向量#»d 可以是( ) 5分
   A. (1, 2) B. (2, 1) C. (−2, 1) D. (1, −2)
3. 3. 若x0 是方程 (1 2 )x = x 1 3 的解, 则x0 属于区间 ( ) (A) (2 3, 1 ) (B) (1 2, 2 3 ) (C) (1 3, 1 2 ) (D) ( 0, 1 3 ) 5分
4. 4. 某人要作一个三角形, 要求它的三条高的长度分别是1 13、1 11、1 5, 则此人 将 ( ) 5分
   A. 不能作出满足要求的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知0 < x < π 2 , 化简: lg ( cos x · tan x + 1 −2sin2 x 2 ) + lg [√ 2 cos ( x −π 4 )] −lg (1 + sin 2x).
2. 2. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, 且Sn = n −5an −85, n ∈N∗. (1) 证明: {an −1} 是等比数列; (2) 求数列{Sn} 的通项公式, 并指出n 为何值时, Sn 取得最小值, 并说明 理由. 627
3. 3. 如图所示, 为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作4 个全等的矩形骨架, 总计 耗用9.6 米铁丝. 骨架将圆柱底面8 等分, 再用S 平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面(不安装上底面). (1) 当圆柱底面半径r 取何值时, S 取得最大值? 并求出该最大值(结果精 确到0.01 平方米); (2) 在灯笼内, 以矩形骨架的顶点为端点, 安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半 径为0.3 米时, 求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5 所在异面直线所成 角的的大小(结果用反三角函数表示) A1 A5 A3 A4 A8 A7 A2 A6 B1 B5 B3 B4 B8 B7 B2 B6
4. 4. 若实数x、y、m 满足|x −m| > |y −m|, 则称x 比y 远离m. (1) 若x2 −1 比1 远离0, 求x 的取值范围; (2) 对任意两个不相等的正数a、b, 证明: a3 +b3 比a2b+ab2 远离2ab √ ab; (3) 已知函数f (x) 的定义域D = { x  x̸ = kπ 2 + π 4 , k ∈Z, x ∈R } . 任 取x ∈D, f (x) 等于sin x 和cos x 中远离0 的那个值. 写出函数f (x) 的 解析式, 并指出它的基本性质(结论不要求证明).
5. 5. 已知椭圆Γ 的方程为x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 点P 的坐标为(−a, b). (1) 若直角坐标平面上的点 M、A (0, −b)、B (a, 0) 满足 # » PM = 1 2 (# » PA + # » PB ) , 求点M 的坐标; (2) 设直线l1: y = k1x + p 交椭圆Γ 于C、D 两点, 交直线l2: y = k2x 于点E. 若k1 · k2 = −b2 a2 , 证明: E 为CD 的中点; (3) 对于椭圆Γ 上的点Q (a cos θ, b sin θ) (0 < θ < π), 如果椭圆Γ 上存在 不同的两点P1、P2 使# » PP1 + # » PP2 = # » PQ, 写出求作点P1、P2 的步骤, 并 求出使P1、P2 存在的θ 满足的条件. 628

原卷配图（含真实几何/应用题图示）