2010年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 集合P = {x ∈Z | 0 ⩽x < 3}, M = {x ∈Z | x2 ⩽9}, 则P ∩M = ( ) 5分
   A. {1, 2} B. {0, 1, 2} C. {1, 2, 3} D. {0, 1, 2, 3}
2. 2. 在复平面内, 复数6 + 5i, −2 + 3i 对应的点分别为A, B. 若C 为线段AB 的中点, 则点C 对应的复数是 ( ) 5分
   A. 4 + 8i B. 8 + 2i C. 2 + 4i D. 4 + i
3. 3. 从{1, 2, 3, 4, 5} 中随机选取一个数为a, 从{1, 2, 3} 中随机选取一个 数为b, 则b > a 的概率是 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 4. 若a, b 是非零向量, 且a ⊥b, |a|̸ = |b|, 则函数f (x) = (xa + b)·(xb −a) 是 ( ) 5分
   A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数 C. 二次函数且是偶函数 D. 二次函数但不是偶函数
5. 5. 一个长方体去掉一个小长方体, 所得几何体的正(主) 视图与侧(左) 视图 分别如图所示, 则该几何体的俯视图为 ( ) 正(主) 视图 侧(左) 视图 (A) (B) (C) (D) 5分
6. 6. 给定函数: ①y = x 1 2 , ②y = log 1 2 (x + 1), ③y = |x −1|, ④y = 2x+1, 其 中在区间(0, 1) 上单调递减的函数序号是 ( ) 5分
   A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
7. 7. 某班设计了一个八边形的班徽(如图), 它由腰长为1、顶角为α 的四个等 腰三角形, 及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为 ( ) √ 3 cos α + 3 √ 3 cos α + 1 5分
   A. 2 sin α −2 cos α + 2 B. sin α − C. 3 sin α − D. 2 sin α −cos α + 1
8. 8. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为2, 动点E, F 在棱A1B1 上. 点Q 是棱CD 的中点, 动点P 在棱AD 上, 若EF = 1, DP = x, A1E = y (x, y 大于零), 则三棱锥P −EFQ 的体积 ( ) A B C D A1 E F P Q B1 C1 D1 • • • • 5分
   A. 与x, y 都有关 B. 与x, y 都无关 C. 与x 有关, 与y 无关 D. 与y 有关, 与x 无关

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知函数y = { log2x, x ⩾2, 2 −x, x < 2. 如图表示的是给定x 的值, 求其对应的函 数值y 的程序框图. ①处应填写 ; ②处应填写 . 开始 输入x ① y = 2 −x ② 输出y 结束 是 否 5分
2. 2. 在△ABC 中, 若b = 1, c = √ 3, ∠C = 2π 3 , 则a = . 5分
3. 3. 若点P (m, 3) 到直线4x −3y + 1 = 0 的距离为4, 且点P 在不等式 2x + y < 3 表示的平面区域内, 则m = . 5分
4. 4. 从某小学随机抽取100 名同学, 将他们的身高(单位: 厘米) 数据绘制 成频率分布直方图(如图). 由图中数据可知a = . 若要从身高 在[120, 130), [130, 140), [140, 150] 三组内的学生中, 用分层抽样的方法 选取18 人参加一项活动, 则从身高在[140, 150] 内的学生中选取的人数应 为 . 频率 组距 0 身高 a 100 110 120 130 140 150 0.005 0.035 0.020 0.010 5分
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为2, 焦点与椭圆 x2 25 + y2 9 = 1 的焦点相同, 那么双曲线的焦点坐标为 ; 渐近线方程 为 . 5分
6. 6. 如图放置的边长为1 的正方形PABC 沿x 轴滚动. 设顶点P (x, y) 的 纵坐标与横坐标的函数关系是y = f (x), 则f (x) 的最小正周期为 ; y = f (x) 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 . 说明: “正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚 动. 沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转, 当顶点B 落在x 轴上时, 再以顶点B 为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地, 正方形 PABC 可以沿x 轴负方向滚动. x y O A P B C 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 2 cos 2x + sin2x. (1) 求f (π 3 ) 的值; (2) 求f (x) 的最大值和最小值.
2. 2. 已知{an} 为等差数列, 且a3 = −6, a6 = 0. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 若等比数列{bn} 满足b1 = −8, b2 = a1 + a2 + a3, 求{bn} 的前n 项 和公式. 575
3. 3. 如图, 正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直, EF AC, AB = √ 2, CE = EF = 1. (1) 求证: AF 平面BDE; (2) 求证: CF ⊥平面BDE; A B C D E F
4. 4. 设函数f (x) = a 3x3 + bx2 + cx + d (a > 0), 且方程f ′ (x) −9x = 0 的两个 根分别为1, 4. (1) 当a = 3 且曲线y = f (x) 过原点时, 求f (x) 的解析式; (2) 若f (x) 在(−∞, +∞) 内无极值点, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是 ( − √ 2, 0 ) , (√ 2, 0 ) , 离心率是 √ 6 3 . 直线y = t 与椭圆C 交于不同的两点M, N, 以线段MN 为直径作圆P, 圆心为P. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 若圆P 与x 轴相切, 求圆心P 的坐标; (3) 设Q (x, y) 是圆P 上的动点, 当t 变化时, 求y 的最大值.
6. 6. 已知集合Sn = {X | X = (x1, x2, . . . , xn) , xi ∈{0, 1} , i = 1, 2, · · · , n} (n ⩾2), 对于A = (a1, a2, · · · , an), B = (b1, b2, · · · bn) ∈Sn, 定义A 与B 的差为A −B = (|a1 −b1|, |a2 −b2|, · · · , |an −bn|); A 与B 之间的距离为 n∑ i=1 |ai −bi|. (1) 当n = 5 时, 设A = (0, 1, 0, 0, 1), B = (1, 1, 1, 0, 0), 求A−B, d (A, B); (2) 证明: ∀A, B, C ∈Sn, 有A −B ∈Sn, 且d (A −C, B −C) = d (A, B); (3) 证明: ∀A, B, C ∈Sn, d (A, B), d (A, C), d (B, C) 三个数中至少有一 个是偶数. 576

原卷配图（含真实几何/应用题图示）