2010年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 集合P = {x ∈Z | 0 ⩽x < 3}, M = {x ∈Z | x2 ⩽9}, 则P ∩M = ( ) 5分
   A. {1, 2} B. {0, 1, 2} C. {x | 0 ⩽x < 3} D. {x | 0 ⩽x ⩽3}
2. 2. 在等比数列{an} 中, a1 = 1, 公比|q|̸ = 1. 若am = a1a2a3a4a5, 则 m = ( ) 5分
   A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
3. 3. 一个长方体去掉一个小长方体, 所得几何体的正(主) 视图与侧(左) 视图 分别如图所示, 则该几何体的俯视图为 ( ) 正(主) 视图 侧(左) 视图 (A) (B) (C) (D) 5分
4. 4. 8 名学生和2 位老师站成一排合影, 2 位老师不相邻的排法种数为 ( ) 8A2 9 8C2 9 8A2 7 8C2 7 5分
   A. A8 B. A8 C. A8 D. A8
5. 5. 极坐标方程(ρ −1) (θ −π) = 0 (ρ ⩾0) 表示的图形是 ( ) 5分
   A. 两个圆 B. 两条直线 C. 一个圆和一条射线 D. 一条直线和一条射线
6. 6. 的 ( ) 5分
   A. b 为非零向量. “a ⊥b”是“函数f (x) = (xa + b) · (xb −a) 为一次函数” A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 设不等式组        x + y −11 ⩾0, 3x −y + 3 ⩾0, 5x −3y + 9 ⩽0 表示的平面区域为D. 若指数函数y = ax 的图象上存在区域D 内的点, 则a 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (1, 3] B. [2, 3] C. (1, 2] D. [3, +∞)
8. 8. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为2, 动点E, F 在棱A1B1 上, 动点P, Q 分别在棱AD, CD 上, 若EF = 1, A1E = x, DQ = y, DP = z (x, y, z 大于零), 则四面体PEFQ 的体积 ( ) A B C D A1 E F P Q B1 C1 D1 • • • • 5分
   A. 与x, y, z 都有关 B. 与x 有关, 与y, z 无关 C. 与y 有关, 与x, z 无关 D. 与z 有关, 与x, y 无关

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在复平面内, 复数 2i 1 −i 对应的点的坐标为 . 5分
2. 2. 在△ABC 中, 若b = 1, c = √ 3, ∠C = 2π 3 , 则a = . 5分
3. 3. 从某小学随机抽取100 名同学, 将他们的身高(单位: 厘米) 数据绘制 成频率分布直方图(如图). 由图中数据可知a = . 若要从身高 在[120, 130) , [130, 140) , [140, 150] 三组内的学生中, 用分层抽样的方法选 取18 人参加一项活动, 则从身高在[140, 150] 内的学生中选取的人数应 为 . 频率 组距 0 身高 a 100 110 120 130 140 150 0.005 0.035 0.020 0.010 5分
4. 4. 如图, ⊙O 的弦ED, CB 的延长线交于点A. 若BD ⊥AE, AB = 4, BC = 2, AD = 3, 则DE = ; CE = . A O B C D E • 5分
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为2, 焦点与椭圆 x2 25 + y2 9 = 1 的焦点相同, 那么双曲线的焦点坐标为 ; 渐近线方程 为 . 5分
6. 6. 如图放置的边长为1 的正方形PABC 沿x 轴滚动. 设顶点P (x, y) 的轨 迹方程是y = f (x), 则f (x) 的最小正周期为; y = f (x) 在其两个相邻零 点间的图象与x 轴所围区域的面积为 . 说明: “正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚 动. 沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转, 当顶点B 落在x 轴上时, 再以顶点B 为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地, 正方形 PABC 可以沿x 轴负方向滚动. x y O A P B C 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 2 cos 2x + sin2x. (1) 求f (π 3 ) 的值; (2) 求f (x) 的最大值和最小值.
2. 2. 如图, 正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直, CE ⊥AC, EF AC, AB = √ 2, CE = EF = 1. (1) 求证: AF 平面BDE; (2) 求证: CF ⊥平面BDE; (3) 求二面角A −BE −D 的大小. A B C D E F 573
3. 3. 某同学参加3 门课程的考试. 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率 为4 5, 第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p, q (p > q), 且不同 课程是否取得优秀成绩相互独立. 记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数, 其 分布列为 ξ 0 1 2 3 P 6 125 a b 24 125 (1) 求该生至少有1 门课程取得优秀成绩的概率; (2) 求p, q 的值; (3) 求数学期望Eξ.
4. 4. 已知函数f (x) = ln (1 + x) −x + k 2x2 (k ⩾0). (1) 当k = 2 时, 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2) 求f (x) 的单调区间.
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 点B 与点A (−1, 1) 关于原点O 对称, P 是 动点, 且直线AP 与BP 的斜率之积等于−1 3. (1) 求动点P 的轨迹方程; (2) 设直线AP 和BP 分别与直线x = 3 交于点M, N, 问: 是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等? 若存在, 求出点P 的坐标; 若不 存在, 说明理由.
6. 6. 已知集合Sn = {X | X = (x1, x2, . . . , xn) , xi ∈{0, 1} , i = 1, 2, · · · , n} (n ⩾2 ), 对于A = (a1, a2, · · · , an), B = (b1, b2, · · · bn) ∈Sn, 定义A 与B 的差为A −B = (|a1 −b1|, |a2 −b2|, · · · , |an −bn|); A 与B 之间的距离为 n∑ i=1 |ai −bi|. (1) 证明: ∀A, B, C ∈Sn, 有A −B ∈Sn, 且d (A −C, B −C) = d (A, B); (2) 证明: ∀A, B, C ∈Sn, d (A, B), d (A, C), d (B, C) 三个数中至少有一 个是偶数; (3) 设P ⊆Sn, P 中有m (m ⩾2) 个元素, 记P 中所有两元素间距离的平 均值为d (P). 证明: d (P) ⩽ mn 2 (m −1). 574

原卷配图（含真实几何/应用题图示）