2010年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年四川（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {3, 5, 6, 8}, 集合B = {4, 5, 7, 8}, 则A ∩B 等于 ( ) 5分
   A. {3, 4, 5, 6, 7, 8} B. {3, 6} C. {4, 7} D. {5, 8}
2. 2. 函数y = log2x 的图象大致是 ( ) (A) x y 1 O (B) x y 1 O (C) x y O 1 (D) x y O 1 5分
3. 3. 抛物线y2 = 8x 的焦点到准线的距离是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 4. 一个单位有职工800 人, 其中具有高级职称的160 人, 具有中级职称的320 人, 具有初级职称的200 人, 其余人员120 人. 为了解职工收入情况, 决定 采用分层抽样的方法, 从中抽取容量为40 的样本. 则从上述各层中依次抽 取的人数分别是 ( ) 5分
   A. 12, 24, 15, 9 B. 9, 12, 12, 7 C. 8, 15, 12, 5 D. 8, 16, 10, 6
5. 5. 函数f (x) = x2 + mx + 1 的图象关于直线x = 1 对称的充要条件是( ) 5分
   A. m = −2 B. m = 2 C. m = −1 D. m = 1
6. 6. 设点M 是线段BC 的中点, 点A 在直线BC 外, # » BC2 = 16, # » AB + # » AC  = # » AB −# » AC , 则# » AM = ( ) 5分
   A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
7. 7. 将函数y = sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度, 再把所 得各点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变), 所得图象的函数解析式 是 ( ) ( 2x −π 10 ) ( 2x −π 5 ) (1 2x −π 10 ) (1 2x −π 20 ) 5分
   A. y = sin B. y = sin C. y = sin D. y = sin
8. 8. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品, 由乙车间加工出B 产品. 甲车 间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出7 千克A 产品, 每千克A 产 品获利40 元. 乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时可加工出4 千克B 产品, 每千克B 产品获利50 元. 甲、乙两车间每天共能完成至多70 箱原 料的加工, 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 小时, 甲、乙两车 间每天总获利最大的生产计划为 ( ) 5分
   A. 甲车间加工原料10 箱, 乙车间加工原料60 箱 B. 甲车间加工原料15 箱, 乙车间加工原料55 箱 C. 甲车间加工原料18 箱, 乙车间加工原料50 箱 D. 甲车间加工原料40 箱, 乙车间加工原料30 箱
9. 9. 由1、2、3、4、5 组成没有重复数字且1、2 都不与5 相邻的五位数的个 数是 ( ) 5分
   A. 36 B. 32 C. 28 D. 24
10. 10. 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F, 其右准线与x 轴的交点为 A, 在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F, 则椭圆离心率 的取值范围是 ( ) (A) ( 0, √ 2 2 ] (B) ( 0, 1 2 ] (C) [√ 2 −1, 1 ) (D) [1 2, 1 ) 5分
11. 11. 设a > b > 0, 则a2 + 1 ab + 1 ( ) 5分
    A. (a −b) 的最小值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 12. 半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α, 垂足为B, △BCD 是平面α 内边长为R 的正三角形, 线段AC、AD 分别与球面交于点M、N, 那么 M、N 两点间的球面距离是 ( ) A B M C D N O α • • • 25 25 3πR 15πR 5分
    A. R arccos 17 B. R arccos 18 C. 1 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x −2 x )4 的展开式中的常数项为 . (用数字作答) 5分
2. 2. 直线x−2y +5 = 0 与圆x2 +y2 = 8 相交于A、B 两点, 则|AB| = . 5分
3. 3. 如图, 二面角α −l −β 的大小是60◦, AB ⊂α, B ∈l, AB 与l 所成的角 为30◦, 则AB 与平面β 所成角的正弦值是 . A B l α β 5分
4. 4. 设S 为实数集R 的非空子集, 若对任意x, y ∈S, 都有x + y, x −y, xy ∈S, 则称S 为封闭集. 下列命题: ①集合S = { √ 3 | a, b 为整数 } 为封闭集; ②若S 为封闭集, 则一定有0 ∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若S 为封闭集, 则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集. 其中的真命题是 . (写出所有真命题的序号) 5分
   A. + b

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某种有奖销售的饮料, 瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样, 购买一瓶 若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖, 中奖概率为1 6. 甲、乙、丙三位 同学每人购买了一瓶该饮料. (1) 求三位同学都没有中奖的概率; (2) 求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
2. 2. 已知正方体ABCD −A′B′C′D′ 的棱长为1, 点M 是棱AA′ 的中点, 点 O 是对角线BD′ 的中点. (1) 求证: OM 为异面直线AA′ 和BD′ 的公垂线; (2) 求二面角M −BC′ −B′ 的大小. A B M C D A′ B′ C′ O D′ 633
3. 3. (1) ①证明两角和的余弦公式C(α+β): cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β; ②由C(α+β) 推导两角和的正弦公式S(α+β): sin (α + β) = sin α cos β+ cos α sin β. (2) 已知cos α = −4 5, α ∈ ( π, 3π 2 ) , tan β = −1 3, β ∈ (π 2 , π ) , 求 cos (α + β).
4. 4. 已知等差数列{an} 的前3 项和为6, 前8 项和为−4. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = (4 −an) qn−1 (q̸ = 0, n ∈N∗), 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
5. 5. 已知定点A (−1, 0), F (2, 0), 定直线l: x = 1 2, 不在x 轴上的动点P 与点 线交E 于B、C 两点, 直线AB、AC 分别交l 于点M、N. (1) 求E 的方程; (2) 试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F, 并说明理由.
6. 6. 设f (x) = 1 + ax 1 −ax (a > 0 且a̸ = 1), g (x) 是f (x) 的反函数. (1) 求g (x); (2) 当x ∈[2, 6] 时, 恒有g (x) > loga t (x2 −1) (7 −x) 成立, 求t 的取值范 围; (3) 当0 < a ⩽1 2 时, 试比较f (1) + f (2) + · · · + f (n) 与n + 4 的大小, 并 说明理由. 634

原卷配图（含真实几何/应用题图示）