本卷为官方高考数学真题（2010年四川（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. i 是虚数单位, 计算i + i2 + i3 =
(
) 5分
A. −1
B. 1
C. −i
D. i
-
2. 下列四个图象所表示的函数, 在点x = 0 处连续的是
(
)
(A)
x
y
O
(B)
x
y
O
(C)
x
y
O
•
(D)
x
y
O 5分
-
3. 2 log5 10 + log5 0.25 =
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
-
4. 函数f (x) = x2 + mx + 1 的图象关于直线x = 1 对称的充要条件是(
) 5分
A. m = −2
B. m = 2
C. m = −1
D. m = 1
-
5. 设点M 是线段BC 的中点, 点A 在直线BC 外, # »
BC2 = 16,
# »
AB + # »
AC
=
# »
AB −# »
AC
, 则# »
AM =
(
) 5分
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
-
6. 将函数y = sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10 个单位长度, 再把所
得各点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变), 所得图象的函数解析式
是
(
)
(
2x −π
10
)
(
2x −π
5
)
(1
2x −π
10
)
(1
2x −π
20
) 5分
A. y = sin
B. y = sin
C. y = sin
D. y = sin
-
7. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品, 由乙车间加工出B 产品. 甲车
间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出7 千克A 产品, 每千克A 产
品获利40 元. 乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时可加工出4 千克B
产品, 每千克B 产品获利50 元. 甲、乙两车间每天共能完成至多70 箱原
料的加工, 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 小时, 甲、乙两车
间每天总获利最大的生产计划为
(
) 5分
A. 甲车间加工原料10 箱, 乙车间加工原料60 箱
B. 甲车间加工原料15 箱, 乙车间加工原料55 箱
C. 甲车间加工原料18 箱, 乙车间加工原料50 箱
D. 甲车间加工原料40 箱, 乙车间加工原料30 箱
-
8. 已知数列{an} 的首项a1̸ = 0, 其前n 项和为Sn, 且Sn+1 = 2Sn + a1, 则
lim
n→∞
an
Sn
=
(
)
2 5分
A. 0
B. 1
C. 1
D. 2
-
9. 椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F, 其右准线与x 轴的交点为
A, 在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F, 则椭圆离心率
的取值范围是
(
)
(A)
(
0,
√
2
2
]
(B)
(
0, 1
2
]
(C)
[√
2 −1, 1
)
(D)
[1
2, 1
) 5分
-
10. 由1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与5 相邻的六位偶数
的个数是
(
) 5分
A. 72
B. 96
C. 108
D. 144
-
11. 半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α, 垂足为B, △BCD 是平面α
内边长为R 的正三角形, 线段AC、AD 分别与球面交于点M、N, 那么
M、N 两点间的球面距离是
(
)
A
B
M
C
D
N
O
α
•
•
•
25
25
3πR
15πR 5分
A. R arccos 17
B. R arccos 18
C. 1
D. 4
-
12. 设a > b > c > 0, 则2a2 + 1
ab +
1
a(a −b) −10ac + 25c2 的最小值是(
)
√
5 5分
A. 2
B. 4
C. 2
D. 5
-
1. (
2 −
1
3√x
)6
的展开式中的第四项是
. 5分
-
2. 直线x−2y +5 = 0 与圆x2 +y2 = 8 相交于A、B 两点, 则|AB| =
. 5分
-
3. 如图, 二面角α −l −β 的大小是60◦, AB ⊂α, B ∈l, AB 与l 所成的角
为30◦, 则AB 与平面β 所成角的正弦值是
.
A
B
l
α
β 5分
-
4. 设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x, y ∈S, 都有x + y, x −y,
xy ∈S, 则称S 为封闭集. 下列命题:
①集合S = {a + bi | a, b 为整数, i 为虚数单位} 为封闭集;
②若S 为封闭集, 则一定有0 ∈S;
③封闭集一定是无限集;
④若S 为封闭集, 则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集.
其中真命题是
. (写出所有真命题的序号) 5分
-
1. 某种有奖销售的饮料, 瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样, 购买一瓶
若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖, 中奖概率为1
6. 甲、乙、丙三位
同学每人购买了一瓶该饮料.
(1) 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(2) 求中奖人数ξ 的分布列及数学期望Eξ.
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2. 已知正方体ABCD −A′B′C′D′ 的棱长为1, 点M 是棱AA′ 的中点, 点
O 是对角线BD′ 的中点.
(1) 求证: OM 为异面直线AA′ 和BD′ 的公垂线;
(2) 求二面角M −BC′ −B′ 的大小;
(3) 求三棱锥M −OBC 的体积.
A
B
M
C
D
A′
B′
C′
O
D′
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3. (1) ①证明两角和的余弦公式C(α+β):
cos (α + β)
=
cos α cos β −
sin α sin β;
②由C(α+β) 推导两角和的正弦公式S(α+β): sin (α + β) = sin α cos β+
cos α sin β.
(2) 已知△ABC 的面积S = 1
2, # »
AB · # »
AC = 3, 且cos B = 3
5, 求cos C.
-
4. 已知定点A (−1, 0), F (2, 0), 定直线l: x = 1
2, 不在x 轴上的动点P 与点
线交E 于B、C 两点, 直线AB、AC 分别交l 于点M、N.
(1) 求E 的方程;
(2) 试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F, 并说明理由.
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5. 已知数列{an} 满足a1 = 0, a2 = 2, 且对任意m, n ∈N∗都有
a2m−1 + a2n−1 = 2am+n−1 + 2 (m −n)2.
(1) 求a3, a5;
(2) 设bn = a2n+1 −a2n−1 (n ∈N∗), 证明: 数列{bn} 是等差数列;
(3) 设cn = (an+1 −an) qn−1 (q̸ = 0, n ∈N∗), 求数列{cn} 的前n 项和Sn.
-
6. 设f (x) = 1 + ax
1 −ax (a > 0 且a̸ = 1), g (x) 是f (x) 的反函数.
(1) 设关于x 的方程loga
t
(x2 −1) (7 −x) = g (x) 在区间[2, 6] 上有实数
解, 求t 的取值范围;
(2) 当a = e (e 为自然对数的底数) 时, 证明:
n∑
k=2
√
2n (n + 1)
;
(3) 当0 < a ⩽1
2 时, 试比较
n∑
k=1
与4 的大小, 并说明理由.
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