2010年大纲1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年大纲1（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. cos 300◦= ( ) √ 3 2 2 2 (D) √ 3 2 5分
   A. − B. −1 C. 1
2. 2. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合M = {1, 4}, N = {1, 3, 5}, 则 N ∩ ( ∁UM ) = ( ) 5分
   A. {1, 3} B. {1, 5} C. {3, 5} D. {4, 5}
3. 3. 若变量x, y 满足约束条件        y ⩽1, x + y ⩾0, x −y −2 ⩽0, 则z = x −2y 的最大值为( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 4. 已知各项均为正数的等比数列{an}, a1a2a3 = 5, a7a8a9 = 10, 则 a4a5a6 = ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 5 B. 7 C. 6 D. 4
5. 5. (1 −x)4(1 −√x) 3 的展开式中x2 的系数是 ( ) 5分
   A. −6 B. −3 C. 0 D. 3
6. 6. 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, 若∠BAC = 90◦, AB = AC = AA1, 则异 面直线BA1 与AC1 所成的角等于 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 45◦ C. 60◦ D. 90◦
7. 7. 已知函数f (x) = |lg x|. 若a̸ = b 且f (a) = f (b), 则a + b 的取值范围 是 ( ) 5分
   A. (1, +∞) B. [1, +∞) C. (2, +∞) D. [2, +∞)
8. 8. 已知F1、F2 为双曲线C: x2 −y2 = 1 的左、右焦点, 点P 在C 上, ∠F1PF2 = 60◦, 则|PF1| · |PF2| = ( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 9. 正方体ABCD−A1B1C1D1 中, BB1 与平面ACD1 所成角的余弦值为( ) (A) √ 2 3 (B) √ 3 3 3 (D) √ 6 3 5分
   C. 2
10. 10. 设a = log32, b = ln 2, c = 5−1 2 , 则 ( ) 5分
    A. a < b < c B. b < c < a C. c < a < b D. c < b < a
11. 11. 已知圆O 的半径为1, PA、PB 为该圆的两条切线, A、B 为两切点, 那么 # » PA · # » PB 的最小值为 ( ) √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 5分
    A. −4 + B. −3 + C. −4 + 2 D. −3 + 2
12. 12. 已知在半径为2 的球面上有A、B、C、D 四点, 若AB = CD = 2, 则四 面体ABCD 的体积的最大值为 ( ) √ 3 3 √ 3 3 √ 3 √ 3 3 5分
    A. 2 B. 4 C. 2 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 不等式 x −2 x2 + 3x + 2 > 0 的解集是 . 5分
2. 2. 已知α 为第二象限的角, sin α = 3 5, 则tan 2α = . 5分
3. 3. 某学校开设A 类选修课3 门, B 类选修课4 门, 一位同学从中共选3 门, 若要求两类课程中各至少选一门, 则不同的选法共有 种. (用数字作 答) 5分
4. 4. 已知F 是椭圆C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点, 线段BF 的延长线 交C 于点D, 且# » BF = 2# » FD, 则C 的离心率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 记等差数列{an} 的前n 项的和为Sn, 设S3 = 12, 且2a1, a2, a3 + 1 成等 比数列, 求Sn.
2. 2. 已知△ABC 的内角A, B 及其对边a, b 满足a + b = a cot A + b cot B, 求 内角C.
3. 3. 投到某杂志的稿件, 先由两位初审专家进行评审. 若能通过两位初审专家 的评审, 则予以录用; 若两位初审专家都未予通过, 则不予录用; 若恰能通 过一位初审专家的评审, 则再由第三位专家进行复审, 若能通过复审专家 的评审, 则予以录用, 否则不予录用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率 均为0.5, 复审的稿件能通过评审的概率为0.3. 各专家独立评审. (1) 求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率; (2) 求投到该杂志的4 篇稿件中, 至少有2 篇被录用的概率. 583
4. 4. 如图, 四棱锥S −ABCD 中, SD ⊥底面ABCD, AB DC, AD ⊥DC, AB = AD = 1, DC = SD = 2, E 为棱SB 上的一点, 平面EDC ⊥平面 SBC. (1) 证明: SE = 2EB; (2) 求二面角A −DE −C 的大小. A B C D E S
5. 5. 已知函数f(x) = 3ax4 −2(3a + 1)x2 + 4x. (1) 当a = 1 6 时, 求f(x) 的极值; (2) 若f(x) 在(−1, 1) 上是增函数, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知抛物线C: y2 = 4x 的焦点为F, 过点K (−1, 0) 的直线l 与C 相交 于A、B 两点, 点A 关于x 轴的对称点为D. (1) 证明: 点F 在直线BD 上; (2) 设# » FA · # » FB = 8 9, 求△BDK 的内切圆M 的方程. 584

原卷配图（含真实几何/应用题图示）