2010年大纲1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年大纲1（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数3 + 2i 2 −3i = ( ) 5分
   A. i B. −i C. 12 −13i D. 12 + 13i
2. 2. 记cos (−80◦) = k, 那么tan 100◦= ( ) (A) √ 1 −k2 k √ 1 −k2 k (C) k √ 1 −k2 k √ 1 −k2 5分
   B. − D. −
3. 3. 若变量x, y 满足约束条件        y ⩽1, x + y ⩾0, x −y −2 ⩽0, 则z = x −2y 的最大值为( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 4. 已知各项均为正数的等比数列{an}, a1a2a3 = 5, a7a8a9 = 10, 则 a4a5a6 = ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 5 B. 7 C. 6 D. 4
5. 5. (1 + 2√x) 3(1 − 3√x) 5 的展开式中x 的系数是 ( ) 5分
   A. −4 B. −2 C. 2 D. 4
6. 6. 某校开设A 类选修课3 门, B 类选修课4 门, 一位同学从中共选3 门. 若 要求两类课程中各至少选一门, 则不同的选法共有 ( ) 5分
   A. 30 种 B. 35 种 C. 42 种 D. 48 种
7. 7. 正方体ABCD−A1B1C1D1 中, BB1 与平面ACD1 所成角的余弦值为( ) (A) √ 2 3 (B) √ 3 3 3 (D) √ 6 3 5分
   C. 2
8. 8. 设a = log32, b = ln 2, c = 5−1 2 , 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. b < c < a C. c < a < b D. c < b < a
9. 9. 已知F1, F2 为双曲线C: x2 −y2 = 1 的左、右焦点, 点P 在C 上, ∠F1PF2 = 60◦, 则P 到x 轴的距离为 ( ) (A) √ 3 2 (B) √ 6 2 (C) √ 3 (D) √ 6 5分
10. 10. 已知函数f (x) = | lg x|, 若0 < a < b, 且f (a) = f (b), 则a + 2b 的取值范 围是 ( ) (A) ( 2 √ 2, +∞ ) (B) [ 2 √ 2, +∞ ) 5分
    C. (3, +∞) D. [3, +∞)
11. 11. 已知圆O 的半径为1, PA、PB 为该圆的两条切线, A、B 为两切点, 那么 # » PA · # » PB 的最小值为 ( ) √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 5分
    A. −4 + B. −3 + C. −4 + 2 D. −3 + 2
12. 12. 已知在半径为2 的球面上有A、B、C、D 四点, 若AB = CD = 2, 则四 面体ABCD 的体积的最大值为 ( ) √ 3 3 √ 3 3 √ 3 √ 3 3 5分
    A. 2 B. 4 C. 2 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 不等式 √ 2x2 + 1 −x ⩽1 的解集是 . 5分
2. 2. 已知α 为第三象限的角, cos 2α = −3 5, 则tan (π 4 + 2α ) = . 5分
3. 3. 直线y = 1 与曲线y = x2 −|x|+a 有四个交点, 则a 的取值范围是 . 5分
4. 4. 已知F 是椭圆C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点, 线段BF 的延长线 交C 于点D, 且# » BF = 2# » FD, 则C 的离心率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知△ABC 的内角A, B 及其对边a, b 满足a + b = a cot A + b cot B, 求 内角C.
2. 2. 投到某杂志的稿件, 先由两位初审专家进行评审. 若能通过两位初审专家 的评审, 则予以录用; 若两位初审专家都未予通过, 则不予录用; 若恰能通 过一位初审专家的评审, 则再由第三位专家进行复审, 若能通过复审专家 的评审, 则予以录用, 否则不予录用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率 均为0.5, 复审的稿件能通过评审的概率为0.3. 各专家独立评审. (1) 求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率; (2) 记X 表示投到该杂志的4 篇稿件中被录用的篇数, 求X 的分布列及 期望.
3. 3. 如图, 四棱锥S −ABCD 中, SD ⊥底面ABCD, AB DC, AD ⊥DC, AB = AD = 1, DC = SD = 2, E 为棱SB 上的一点, 平面EDC ⊥平面 SBC. (1) 证明: SE = 2EB; (2) 求二面角A −DE −C 的大小. A B C D E S 581
4. 4. 已知函数f (x) = (x + 1) ln x −x + 1. (1) 若xf ′ (x) ⩽x2 + ax + 1, 求a 的取值范围; (2) 证明: (x −1) f (x) ⩾0.
5. 5. 已知抛物线C: y2 = 4x 的焦点为F, 过点K (−1, 0) 的直线l 与C 相交 于A、B 两点, 点A 关于x 轴的对称点为D. (1) 证明: 点F 在直线BD 上; (2) 设# » FA · # » FB = 8 9, 求△BDK 的内切圆M 的方程.
6. 6. 已知数列{an} 中, a1 = 1, an+1 = c −1 an . (1) 设c = 5 2, bn = 1 an −2, 求数列{bn} 的通项公式; (2) 求使不等式an < an+1 < 3 成立的c 的取值范围. 582

原卷配图（含真实几何/应用题图示）