2010年大纲2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年大纲2（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设全集U = {x ∈N∗| x < 6}, 集合A = {1, 3}, B = {3, 5}, 则 ∁U (A ∪B) = ( ) 5分
   A. {1, 4} B. {1, 5} C. {2, 4} D. {2, 5}
2. 2. 不等式x −3 x + 2 < 0 的解集为 ( ) 5分
   A. {x | −2 < x < 3} B. {x | x < −2} C. {x | x < −2 或x > 3} D. {x | x > 3}
3. 3. 已知sin α = 2 3, 则cos (π −2α) = ( ) √ 5 3 9 9 (D) √ 5 3 5分
   A. − B. −1 C. 1
4. 4. 函数y = 1 + ln (x −1) (x > 1) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = ex+1 −1 (x > 0) B. y = ex−1 + 1 (x > 0) C. y = ex+1 −1 (x ∈R) D. y = ex−1 + 1 (x ∈R)
5. 5. 若变量x, y 满足约束条件        x ⩾−1, y ⩾x, 3x + 2y ⩽5, 则z = 2x + y 的最大值为( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 6. 如果等差数列{an} 中, a3 + a4 + a5 = 12, 那么a1 + a2 + · · · + a7 = ( ) 5分
   A. 14 B. 21 C. 28 D. 35
7. 7. 若曲线y = x2 + ax + b 在点(0, b) 处的切线方程是x −y + 1 = 0, 则( ) 5分
   A. a = 1, b = 1 B. a = −1, b = 1 C. a = 1, b = −1 D. a = −1, b = −1
8. 8. 在三棱锥S −ABC 中, 底面ABC 为边长等于2 的等边三角形, SA 垂直 于底面ABC, SA = 3, 那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( ) (A) √ 3 4 (B) √ 5 4 (C) √ 7 4 4 5分
   D. 3
9. 9. 将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6 的6 张卡片放入3 个不同的信封中, 若每个信封 放2 张, 其中标号为1, 2 的卡片放入同一信封, 则不同的放法共有 ( ) 5分
   A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 54 种
10. 10. △ABC 中, 点D 在边AB 上, CD 平分∠ACB. 若# » CB = a, # » CA = b, |a| = 1, |b| = 2, 则# » CD = ( ) 3a + 2 3b 3a + 1 3b 5a + 4 5b 5a + 3 5b 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 11. 与正方体ABCD −A1B1C1D1 的三条棱AB、CC1、A1D1 所在直线的距 离相等的点 ( ) 5分
    A. 有且只有1 个 B. 有且只有2 个 C. 有且只有3 个 D. 有无数个
12. 12. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , 过右焦点F 且斜 率为k (k > 0) 的直线与C 相交于A、B 两点. 若# » AF = 3# » FB, 则k =( ) (B) √ 2 (C) √ 3 5分
    A. 1 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知α 是第二象限的角, tan α = −1 2, 则cos α = . 5分
2. 2. ( x + 1 x )9 的展开式中x3 的系数是 . 5分
3. 3. 已知抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的准线为l, 过M (1, 0) 且斜率为 √ 3 的直 线与l 相交于点A, 与C 的一个交点为B. 若# » AM = # » MB, 则p = . 5分
4. 4. 已知球O 的半径为4, 圆M 与圆N 为该球的两个小圆, AB 为圆M 与圆N 的公共弦, AB = 4. 若OM = ON = 3, 则两圆圆心的距离 MN = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 中, D 为边BC 上的一点, BD = 33, sin B = 5 13, cos ∠ADC = 3 5, 求AD.
2. 2. 已知{an} 是各项均为正数的等比数列, 且a1 + a2 = 2 ( 1 a1 + 1 a2 ) , a3 + a4 + a5 = 64 ( 1 a3 + 1 a4 + 1 a5 ) . (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设bn = ( an + 1 an )2 , 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
3. 3. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AC = BC, AA1 = AB, D 为BB1 的 中点, E 为AB1 上的一点, AE = 3EB1. (1) 证明: DE 为异面直线AB1 与CD 的公垂线; (2) 设异面直线AB1 与CD 的夹角为45◦, 求二面角A1 −AC1 −B1 的大 小. A B C A1 B1 C1 D E 587
4. 4. 如图, 由M 到N 的电路中有4 个组件, 分别标为T1, T2, T3, T4, 电流能通 过T1, T2, T3 的概率都是p, 电流能通过T4 的概率是0.9. 电流能否通过各 组件相互独立. 已知T1, T2, T3 中至少有一个能通过电流的概率为0.999. (1) 求p; (2) 求电流能在M 与N 之间通过的概率. M N T1 T2 T4 T3
5. 5. 已知函数f (x) = x3 −3ax2 + 3x + 1. (1) 设a = 2, 求f (x) 的单调区间; (2) 设f (x) 在区间(2, 3) 中至少有一个极值点, 求a 的取值范围.
6. 6. 己知斜率为1 的直线l 与双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 相交于 (1) 求C 的离心率; (2) 设C 的右顶点为A, 右焦点为F, |DF| · |BF| = 17, 证明: 过A、B、 588

原卷配图（含真实几何/应用题图示）