2010年大纲2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年大纲2（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数 (3 −i 1 + i )2 = ( ) 5分
   A. −3 −4i B. −3 + 4i C. 3 −4i D. 3 + 4i
2. 2. 函数y = 1 + ln (x −1) 2 (x > 1) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = e2x+1 −1 (x > 0) B. y = e2x−1 + 1 (x > 0) C. y = e2x+1 −1 (x ∈R) D. y = e2x−1 + 1 (x ∈R)
3. 3. 若变量x, y 满足约束条件        x ⩾−1, y ⩾x, 3x + 2y ⩽5, 则z = 2x + y 的最大值为( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 4. 如果等差数列{an} 中, a3 + a4 + a5 = 12, 那么a1 + a2 + · · · + a7 = ( ) 5分
   A. 14 B. 21 C. 28 D. 35
5. 5. 不等式x2 −x −6 x −1 > 0 的解集为 ( ) 5分
   A. {x | x < −2 或x > 3} B. {x | x < −2 或1 < x < 3} C. {x | −2 < x < 1 或x > 3} D. {x | −2 < x < 1 或1 < x < 3}
6. 6. 将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6 的6 张卡片放入3 个不同的信封中, 若每个信封 放2 张, 其中标号为1, 2 的卡片放入同一信封, 则不同的放法共有 ( ) 5分
   A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 54 种
7. 7. 为了得到函数y = sin ( 2x −π 3 ) 的图象, 只需把函数y = sin ( 2x + π 6 ) 的 图象 ( ) 4 个长度单位 4 个长度单位 2 个长度单位 2 个长度单位 5分
   A. 向左平移π B. 向右平移π C. 向左平移π D. 向右平移π
8. 8. △ABC 中, 点D 在边AB 上, CD 平分∠ACB. 若# » CB = a, # » CA = b, |a| = 1, |b| = 2, 则# » CD = ( ) 3a + 2 3b 3a + 1 3b 5a + 4 5b 5a + 3 5b 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 9. 已知正四棱锥S −ABCD 中, SA = 2 √ 3, 那么当该棱锥的体积最大时, 它 的高为 ( ) (B) √ 3 5分
   A. 1 C. 2 D. 3
10. 10. 若曲线y = x−1 2 在点 ( a, a−1 2 ) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面 积为18, 则a = ( ) 5分
    A. 64 B. 32 C. 16 D. 8
11. 11. 与正方体ABCD −A1B1C1D1 的三条棱AB、CC1、A1D1 所在直线的距 离相等的点 ( ) 5分
    A. 有且只有1 个 B. 有且只有2 个 C. 有且只有3 个 D. 有无数个
12. 12. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , 过右焦点F 且斜 率为k (k > 0) 的直线与C 相交于A、B 两点. 若# » AF = 3# » FB, 则k =( ) (B) √ 2 (C) √ 3 5分
    A. 1 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知α 是第二象限的角, tan (π + 2α) = −4 3, 则tan α = . 5分
2. 2. 若 ( x −a x )9 的展开式中x3 的系数是−84, 则a = . 5分
3. 3. 已知抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的准线为l, 过M (1, 0) 且斜率为 √ 3 的直 线与l 相交于点A, 与C 的一个交点为B. 若# » AM = # » MB, 则p = . 5分
4. 4. 已知球O 的半径为4, 圆M 与圆N 为该球的两个小圆, AB 为圆M 与圆N 的公共弦, AB = 4. 若OM = ON = 3, 则两圆圆心的距离 MN = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 中, D 为边BC 上的一点, BD = 33, sin B = 5 13, cos ∠ADC = 3 5, 求AD.
2. 2. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = (n2 + n) · 3n. (1) 求lim n→∞ an Sn ; (2) 证明: a1 12 + a2 22 + · · · + an n2 > 3n.
3. 3. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AC = BC, AA1 = AB, D 为BB1 的 中点, E 为AB1 上的一点, AE = 3EB1. (1) 证明: DE 为异面直线AB1 与CD 的公垂线; (2) 设异面直线AB1 与CD 的夹角为45◦, 求二面角A1 −AC1 −B1 的大 小. A B C A1 B1 C1 D E 585
4. 4. 如图, 由M 到N 的电路中有4 个组件, 分别标为T1, T2, T3, T4, 电流能通 过T1, T2, T3 的概率都是p, 电流能通过T4 的概率是0.9. 电流能否通过各 组件相互独立. 已知T1, T2, T3 中至少有一个能通过电流的概率为0.999. (1) 求p; (2) 求电流能在M 与N 之间通过的概率; (3) ξ 表示T1, T2, T3, T4 中能通过电流的组件个数, 求ξ 的期望. M N T1 T2 T4 T3
5. 5. 己知斜率为1 的直线l 与双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 相交于 (1) 求C 的离心率; (2) 设C 的右顶点为A, 右焦点为F, |DF| · |BF| = 17, 证明: 过A、B、
6. 6. 设函数f (x) = 1 −e−x. (1) 证明: 当x > −1 时, f (x) ⩾ x x + 1; (2) 设当x ⩾0 时, f (x) ⩽ x ax + 1, 求a 的取值范围. 586

原卷配图（含真实几何/应用题图示）