2010年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年天津（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数3 + i 1 −i = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. 2 + 4i C. −1 −2i D. 2 −i
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x + y ⩽3, x −y ⩾−1, y ⩾1, 则目标函数z = 4x + 2y 的最大 值为 ( ) 5分
   A. 12 B. 10 C. 8 D. 2
3. 3. 阅读下面的程序框图, 若输出s 的值为−7, 则判断框内可填写 ( ) 开始 s = 1 i = 1 s = s · (3 −i) + 1 i = i + 1 i > 4? 输出s 结束 是 否 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 3
4. 4. 函数f (x) = ex + x −2 的零点所在的一个区间是 ( ) 5分
   A. (−2, −1) B. (−1, 0) C. (0, 1) D. (1, 2)
5. 5. 下列命题中, 真命题是 ( ) 5分
   A. ∃m ∈R, 使函数f (x) = x2 + mx (x ∈R) 是偶函数 B. ∃m ∈R, 使函数f (x) = x2 + mx (x ∈R) 是奇函数 C. ∀m ∈R, 使函数f (x) = x2 + mx (x ∈R) 是偶函数 D. ∀m ∈R, 使函数f (x) = x2 + mx (x ∈R) 是奇函数
6. 6. 设a = log54, b = (log53)2, c = log45, 则 ( ) 5分
   A. a < c < b B. b < c < a C. a < b < c D. b < a < c
7. 7. 设集合A = {x | |x −a| < 1, x ∈R}, B = {x | 1 < x < 5, x ∈R}. 若 ( ) 5分
   A. ∩B = ∅, 则实数a 的取值范围是 A. {a | 0 ⩽a ⩽6} B. {a | a ⩽2 或a ⩾4} C. {a | a ⩽0 或a ⩾6} D. {a | 2 ⩽a ⩽4}
8. 8. 如图是函数y = A sin (ωx + φ) (x ∈R) 在区间 [ −π 6 , 5π 6 ] 上的图象, 为了 得到这个函数的图象, 只要将y = sin x (x ∈R) 的图象上所有的点 ( ) x −π 6 π 3 5π 6 y 1 −1 O 3 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍, 纵坐标不变 3 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍, 纵坐标不变 6 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍, 纵坐标不变 6 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍, 纵坐标不变 5分
   A. 向左平移π B. 向左平移π C. 向左平移π D. 向左平移π
9. 9. 如图, 在△ABC 中, AD ⊥AB, # » BC = √ 3# » BD, # » AD  = 1, 则 # » AC · # » AD = ( ) A B D C √ 3 (B) √ 3 2 (C) √ 3 3 (D) √ 3 5分
   A. 2
10. 10. 设函数g (x) = x2 −2 (x ∈R), f (x) = { x < g (x) , x ⩾g (x) , 则 ( ) (A) [ −9 4, 0 ] ∪(1, +∞) (C) [ −9 4, +∞ ) (D) [ −9 4, 0 ] ∪(2, +∞) 5分
    G. (x) + x + 4, G. (x) −x, F. (x) 的值域是 B. [0, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 如图, 四边形ABCD 是圆O 的内接四边形, 延长AB 和DC 相交于点P. 若PB = 1, PD = 3, 则BC AD 的值为 . A O P B C D • 5分
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为 . 俯视图 正视图 侧视图 1 1 1 2 2 1 1 5分
3. 3. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程是y = √ 3x, 它 的一个焦点与抛物线y2 = 16x 的焦点相同. 则双曲线的方程为 . 5分
4. 4. 已知圆C 的圆心是直线x −y + 1 = 0 与x 轴的交点, 且圆C 与直线 x + y + 3 = 0 相切, 则圆C 的方程为 . 5分
5. 5. 设{an} 是等比数列, 公比q = √ 2, Sn 为{an} 的前n 项和. 记 Tn = 17Sn −S2n an+1 , n ∈N∗. 设Tn0 为数列{Tn} 的最大项, 则n0 = . 5分
6. 6. 设函数f (x) = x −1 x, 对任意x ∈[1, +∞), f (mx) + mf (x) < 0 恒成立, 则实数m 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, AC AB = cos B cos C . (1) 证明: B = C; (2) 若cos A = −1 3, 求sin ( 4B + π 3 ) 的值. 637
2. 2. 有编号为A1, A2, · · · , A10 的10 个零件, 测量其直径(单位: cm), 得到下 面数据: 编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间[1.48, 1.52] 内的零件为一等品. (1) 从上述10 个零件中, 随机抽取一个, 求这个零件为一等品的概率; (2) 从一等品零件中, 随机抽取2 个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2 个零件直径相等的概率.
3. 3. 如图, 在五面体ABCDEF 中, 四边形ADEF 是正方形, FA ⊥平面 ABCD, BC AD, CD = 1, AD = 2 √ 2, ∠BAD = ∠CDA = 45◦. (1) 求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值; (2) 证明CD ⊥平面ABF; (3) 求二面角B −EF −A 的正切值. A B F E C D
4. 4. 已知函数f (x) = ax3 −3 2x2 + 1 (x ∈R), 其中a > 0. (1) 若a = 1, 求曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程; (2) 若在区间 [ −1 2, 1 2 ] 上, f (x) > 0 恒成立, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率e = √ 3 2 , 连接椭圆的四个顶 点得到的菱形的面积为4. (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A, B, 已知点A 的坐标为(−a, 0). ①若|AB| = 4 √ 2 5 , 求直线l 的倾斜角; ②若点Q (0, y0) 在线段AB 的垂直平分线上, 且# » QA · # » QB = 4. 求y0 的值.
6. 6. 在数列{an} 中, a1 = 0, 且对任意k ∈N∗, a2k−1, a2k, a2k+1 成等差数列, 其公差为2k. (1) 证明a4, a5, a6 成等比数列; (2) 求数列{an} 的通项公式; (3) 记Tn = 22 a2 + 32 a3 + · · · + n2 an , 证明3 2 < 2n −Tn ⩽2 (n ⩾2). 638

原卷配图（含真实几何/应用题图示）