2010年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年天津（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数−1 + 3i 1 + 2i = ( ) 5分
   A. 1 + i B. 5 + 5i C. −5 −5i D. −1 −i
2. 2. 函数f (x) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是 ( ) 5分
   A. (−2, −1) B. (−1, 0) C. (0, 1) D. (1, 2)
3. 3. 命题“若f (x) 是奇函数, 则f (−x) 是奇函数”的否命题是 ( ) 5分
   A. 若f (x) 是偶函数, 则f (−x) 是偶函数 B. 若f (x) 不是奇函数, 则f (−x) 不是奇函数 C. 若f (−x) 是奇函数, 则f (x) 是奇函数 D. 若f (−x) 不是奇函数, 则f (x) 不是奇函数
4. 4. 阅读下面的程序框图, 若输出s 的值为−7, 则判断框内可填写 ( ) 开始 i = 1 s = 2 i = i + 2 s = s −i 输出s 结束 否 是 5分
   A. i < 3? B. i < 4? C. i < 5? D. i < 6?
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程是y = √ 3x, 它 的一个焦点在抛物线y2 = 24x 的准线上, 则双曲线的方程为 ( ) 36 −y2 108 = 1 (B) x2 9 −y2 27 = 1 (C) x2 108 −y2 36 = 1 (D) x2 27 −y2 9 = 1 5分
   A. x2
6. 6. 已知{an} 是首项为1 的等比数列, Sn 是{an} 的前n 项和, 且9S3 = S6, 则数列 { 1 an } 的前5 项和为 ( ) 8 或5 16 或5 16 8 5分
   A. 15 B. 31 C. 31 D. 15
7. 7. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别是a, b, c, 若a2 −b2 = √ 3bc, sin C = 2 √ 3 sin B, 则A = ( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 120◦ D. 150◦
8. 8. 设函数f (x) = { log2x, x > 0, log 1 2 (−x) , x < 0, 若f (a) > f (−a), 则实数a 的取值 范围是 ( ) 5分
   A. (−1, 0) ∪(0, 1) B. (−∞, −1) ∪(1, +∞) C. (−1, 0) ∪(1, +∞) D. (−∞, −1) ∪(0, 1)
9. 9. 设集合A = {x | |x −a| < 1, x ∈R}, B = {x | |x −b| > 2, x ∈R}. 若 ( ) 5分
   A. ⊆B, 则实数a, b 必满足 A. |a + b| ⩽3 B. |a + b| ⩾3 C. |a −b| ⩽3 D. |a −b| ⩾3
10. 10. 如图, 用四种不同颜色给图中的A, B, C, D, E, F 六个点涂色, 要求每个 点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色方 法有 ( ) A E F B C D 5分
    A. 288 种 B. 264 种 C. 240 种 D. 168 种

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 甲、乙两人在10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图, 中间一列的 数字表示零件个数的〸位数, 两边的数字表示零件个数的个位数, 则这10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 . 甲 乙 9 8 1 9 7 1 0 1 3 2 0 2 1 4 2 4 1 1 5 3 0 2 0 5分
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为 . 俯视图 正视图 侧视图 2 1 1 2 2 2 1 1 5分
3. 3. 已知圆C 的圆心是直线 { x = t, y = 1 + t, (t 为参数) 与x 轴的交点, 且圆C 与 直线x + y + 3 = 0 相切, 则圆C 的方程为 . 5分
4. 4. 如图, 四边形ABCD 是圆O 的内接四边形, 延长AB 和DC 相交于点P, 若PB PA=1 2, PC PD=1 3, 则BC AD 的值为 . A O P B C D • 5分
5. 5. 如图, 在△ABC 中, AD ⊥AB, # » BC = √ 3# » BD, # » AD  = 1, 则 # » AC · # » AD = . A B D C 5分
6. 6. 设函数f (x) = x2 −1, 对任意x ∈ [3 2, +∞ ) , f ( x m ) −4m2f (x) ⩽ . 5分
   F. (x −1) + 4f (m) 恒成立, 则实数m 的取值范围是

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 2 √ 3 sin x cos x + 2cos2x −1 (x ∈R). (1) 求函数f (x) 的最小正周期及在区间 [ 0, π 2 ] 上的最大值和最小值; (2) 若f (x0) = 6 5, x0 ∈ [π 4 , π 2 ] , 求cos 2x0 的值. 635
2. 2. 某射手每次射击击中目标的概率是2 3, 且各次射击的结果互不影响. (1) 假设这名射手射击5 次, 求恰有2 次击中目标的概率; (2) 假设这名射手射击5 次, 求有3 次连续击中目标. 另外2 次未击中目 标的概率; (3) 假设这名射手射击3 次, 每次射击, 击中目标得1 分, 未击中目标得0 分, 在3 次射击中, 若有2 次连续击中, 而另外1 次未击中, 则额外加1 分; 若3 次全击中, 则额外加3 分. 记ξ 为射手射击3 次后的总的分数, 求ξ 的分布列.
3. 3. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, E、F 分别是棱BC、CC1 上的 点, CF = AB = 2CE, AB : AD : AA1 = 1 : 2 : 4. (1) 求异面直线EF 与A1D 所成角的余弦值; (2) 证明AF ⊥平面A1ED; (3) 求二面角A1 −ED −F 的正弦值. B C E F D A B1 C1 D1 A1
4. 4. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率e = √ 3 2 , 连接椭圆的四个顶 点得到的菱形的面积为4. (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A, B. 已知点A 的坐标为(−a, 0), 点Q (0, y0) 在线段AB 的垂直平分线上, 且# » QA · # » QB = 4. 求y0 的值.
5. 5. 已知函数f (x) = xe−x (x ∈R). (1) 求函数f (x) 的单调区间和极值; (2) 已知函数y = g (x) 的图象与函数y = f (x) 的图象关于直线x = 1 对 称, 证明: 当x > 1 时, f (x) > g (x); (3) 如果x1̸ = x2, 且f (x1) = f (x2), 证明: x1 + x2 > 2.
6. 6. 在数列{an} 中, a1 = 0, 且对任意k ∈N∗. a2k−1, a2k, a2k+1 成等差数列, 其公差为dk. (1) 若dk = 2k, 证明a2k, a2k+1, a2k+2 成等比数列(k ∈N∗); (2) 若对任意k ∈N∗, a2k, a2k+1, a2k+2 成等比数列, 其公比为qk. ①设q1̸ = 1. 证明 { 1 qk −1 } 是等差数列; ②若a2 = 2, 证明3 2 < 2n − n∑ k=2 k2 ak ⩽2 (n ⩾2). 636

原卷配图（含真实几何/应用题图示）