本卷为官方高考数学真题（2010年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. i 是虚数单位,
i
√
3 + 3i =
(
)
4 −
√
3
12 i
4 +
√
3
12 i
2 +
√
3
6 i
2 −
√
3
6 i 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
-
2. 若集合A =
{
x
log 1
2 x ⩾1
2
}
, 则∁RA =
(
)
(√
2
2 , +∞
)
(B)
(√
2
2 , +∞
)
[√
2
2 , +∞
)
(D)
[√
2
2 , +∞
) 5分
A. (−∞, 0] ∪
C. (−∞, 0] ∪
-
3. 设向量a = (1, 0), b =
(1
2, 1
2
)
, 则下列结论中正确的是
(
)
√
2
2
b 5分
A. |a| = |b|
B. a · b =
C. a −b 与b 垂直
D. a
-
4. 若f (x) 是R 上周期为5 的奇函数, 且满足f (1) = 1, f (2) = 2, 则
(
) 5分
F. (3) −f (4) =
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
-
5. 双曲线方程为x2 −2y2 = 1, 则它的右焦点坐标为
(
)
(A)
(√
2
2 , 0
)
(B)
(√
5
2 , 0
)
(C)
(√
6
2 , 0
)
(D)
(√
3, 0
) 5分
-
6. 设abc > 0, 二次函数f (x) = ax2 + bx + c 的图象可能是
(
)
(A)
x
y
O
(B)
x
y
O
(C)
x
y
O
(D)
x
y
O 5分
-
7. 设曲线C 的参数方程为
{
x = 2 + 3 cos θ,
y = −1 + 3 sin θ,
(θ 为参数), 直线l 的方程为
x −3y + 2 = 0, 则曲线C 上到直线l 的距离为7
√
10
10
的点的个数为(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
8. 一个几何体的三视图如图, 该几何体的表面积为
(
)
俯视图
正(主) 视图
侧(左) 视图
6
8
6
6
1
1
2
2
2
2
2 5分
A. 280
B. 292
C. 360
D. 372
-
9. 动点A (x, y) 在圆x2 +y2 = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒
旋转一周. 已知时间t = 0 时, 点A 的坐标是
(
1
2,
√
3
2
)
, 则当0 ⩽t ⩽12
时, 动点A 的纵坐标y 关于t (单位: 秒) 的函数的单调递增区间是
(
) 5分
A. [0, 1]
B. [1, 7]
C. [7, 12]
D. [0, 1] 和[7, 12]
-
10. 设{an} 是任意等比数列, 它的前n 项和, 前2n 项和与前3n 项和分别为
X, Y , Z, 则下列等式中恒成立的是
(
) 5分
A. X + Z = 2Y
B. Y (Y −X) = Z (Z −X)
C. Y 2 = XZ
D. Y (Y −X) = X (Z −X)
-
1. 命题“对任何x ∈R, |x −2| + |x −4| > 3”的否定是
. 5分
-
2. ( x
√y −y
√x
)6
的展开式中, x3 的系数等于
. 5分
-
3. 设x, y 满足约束条件
2x −y + 2 ⩾0,
8x −y −4 ⩽0,
x ⩾0, y ⩾0,
若目标函数z = abx + y (a >
0, b > 0) 的最大值为8, 则a + b 的最小值为
. 5分
-
4. 如图所示, 程序框图(算法流程图) 的输出值x =
.
开始
x = 1
x 是奇数?
x = x + 2
x = x + 1
x > 8?
输出x
结束
否
是
是
否 5分
-
5. 甲罐中有5 个红球, 2 个白球和3 个黑球, 乙罐中有4 个红球, 3 个白球和
3 个黑球, 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐, 分别以A1, A2 和A3 表示
由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件; 再从乙罐中随机取出一球, 以
. (写
出所有正确结论的编号)
①P (B) = 2
5;
②P (B | A1) = 5
11;
③事件B 与事件A1 相互独立;
④A1, A2, A3 是两两互斥的事件;
⑤P (B) 的值不能确定, 因为它与A1, A2, A3 中究竟哪一个发生有关. 5分
B. 表示由乙罐取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是
-
1. 设△ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角A、B、C 所对边长, 并且
sin2A = sin
(π
3 + B
)
sin
(π
3 −B
)
+ sin2B.
(1) 求角A 的值;
(2) 若# »
AB · # »
AC = 12, a = 2
√
7, 求b, c (其中b < c).
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-
2. 设a 为实数, 函数f (x) = ex −2x + 2a, x ∈R.
(1) 求f (x) 的单调区间与极值;
(2) 求证: 当a > ln 2 −1 且x > 0 时, ex > x2 −2ax + 1.
-
3. 如图, 在多面体ABCDEF 中, 四边形ABCD 是正方形, EF
AB,
EF ⊥FB, AB = 2EF, ∠BFC = 90◦, BF = FC, H 为BC 的中
点.
(1) 求证: FH
平面EDB;
(2) 求证: AC ⊥平面EDB;
(3) 求二面角B −DE −C 的大小.
E
F
H
A
B
C
D
-
4. 如图, 已知椭圆E 经过点A (2, 3), 对称轴为坐标轴, 焦点F1, F2 在x 轴
上, 离心率e = 1
2.
(1) 求椭圆E 的方程;
(2) 求∠F1AF2 的角平分线所在直线l 的方程;
(3) 在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点? 若存在, 请找出; 若
不存在, 说明理由.
x
y
O
A
l
F1
F2
-
5. 设数列a1, a2, · · · , an, · · · 中的每一项都不为0. 证明: {an} 为等差数列
的充分必要条件是: 对任何n ∈N+, 都有
1
a1a2
+
1
a2a3
+ · · · +
1
anan+1
=
n
a1an+1
.
-
6. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试, 一般通常采用的测试方法如下: 拿
出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝, 要求其按品质优劣为它们排序;
经过一段时间, 等其记忆淡忘之后, 再让其品尝这n 瓶酒, 并重新按品质优
劣为它们排序, 这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度
的高低为其评分.
现设n = 4, 分别以a1, a2, a3, a4 表示第一次排序时被排为1, 2, 3, 4 的四
种酒在第二次排序时的序号, 并令X = |1−a1|+|2−a2|+|3−a3|+|4−a4|,
则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1) 写出X 的可能值集合;
(2) 假设a1, a2, a3, a4 等可能的为1, 2, 3, 4 的各种排列, 求X 的分布列;
(3) 某品酒师在相继进行的三轮测试中, 都有X ⩽2,
①试按(2) 中的结果, 计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独
立);
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何? 说明理由.
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