2010年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = R, 集合M = {x | x2 −4 ⩽0}, 则∁UM = ( ) 5分
   A. {x | −2 < x < 2} B. {x | −2 ⩽x ⩽2} C. {x | x < −2 或x > 2} D. {x | x ⩽−2 或x ⩾2}
2. 2. 已知a + 2i i = b + i (a, b ∈R), 其中i 为虚数单位, 则a + b = ( ) 5分
   A. −1 B. 1 C. 2 D. 3
3. 3. 函数f (x) = log2 (3x + 1) 的值域为 ( ) 5分
   A. (0, +∞) B. [0, +∞) C. (1, +∞) D. [1, +∞)
4. 4. 在空间, 下列命题正确的是 ( ) 5分
   A. 平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行(D) 垂直于同一平面的两条直线平行
5. 5. 设f (x) 为定义在R 上的奇函数, 当x ⩾0 时, f (x) = 2x + 2x + b (b 为常 数), 则f (−1) = ( ) 5分
   A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
6. 6. 在某项体育比赛中, 七位裁判为一选手打出的分数如下: 90, 89, 90, 95, 93, 94, 93. 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均分值为和方差分 别为 ( ) 5分
   A. 92, 2 B. 92, 2.8 C. 93, 2 D. 93, 2.8
7. 7. 设{an} 是首项大于零的等比数列, 则“a1 < a2”是“数列{an} 是递增数列” 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 已知某生产厂家的年利润y (单位: 万元) 与年产量x (单位: 万件) 的函数 关系式为y = −1 3x3 + 81x −234, 则使该生产厂家获得最大年利润的年产 量为 ( ) 5分
   A. 13 万件 B. 11 万件 C. 9 万件 D. 7 万件
9. 9. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0), 过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A、 ( ) 5分
   B. 两点, 若线段AB 的中点的纵坐标为2, 则该抛物线的准线方程为 A. x = 1 B. x = −1 C. x = 2 D. x = −2
10. 10. 观察(x2) ′ = 2x, (x4) ′ = 4x3, (cos x)′ = −sin x, 由归纳推理可得: 若定义 在R 上的函数f (x) 满足f (−x) = f (x), 记g (x) 为f (x) 的导函数, 则 ( ) 5分
    G. (−x) = A. f (x) B. −f (x) C. g (x) D. −g (x)
11. 11. 函数y = 2x −x2 的图象大致是 ( ) (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分
12. 12. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下: 对任意的a = (m, n), b = (p, q). 令a ⊙b = mq −np. 下面说法错误的是 ( ) 5分
    A. 若a 与b 共线, 则a ⊙b = 0 B. a ⊙b = b ⊙a C. 对任意的λ ∈R, 有(λa) ⊙b = λ (a ⊙b) D. (a ⊙b)2 + (a · b)2 = |a|2 |b|2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 执行如图所示的程序框图, 若输入x = 4, 则输出y 的值为 . 开始 输入x y = 1 2x −1 x = y |y −x| < 1 输出y 结束 是 否 5分
2. 2. 已知x, y ∈R+, 且满足x 3 + y 4 = 1, 则xy 的最大值为 . 5分
3. 3. 在△ABC 中, A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 若a = √ 2, b = 2, sin B + cos B = √ 2, 则角A 的大小为 . 5分
4. 4. 已知圆C 过点(1, 0), 且圆心在x 轴的正半轴上, 直线l: y = x −1 被圆C 所截得的弦长为2 √ 2, 则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin (π −ωx) cos ωx + cos2ωx (ω > 0) 的最小正周期为π. (1) 求ω 的值; (2) 将函数y = f (x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2, 纵坐标不变, 得到函数y = g (x) 的图象, 求函数y = g (x) 在区间 [ 0, π 16 ] 上的最小值.
2. 2. 已知等差数列{an} 满足: a3 = 7, a5 + a7 = 26. 数列{an} 的前n 项和为 Sn. (1) 求an 及Sn; (2) 令bn = 1 a2 n −1 (n ∈N∗), 求数列{bn} 的前n 项和Tn. 621
3. 3. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球, 球的编号分别为1, 2, 3, 4. (1) 从袋中随机取两个球, 求取出的球的编号之和不大于4 的概率; (2) 先从袋中随机取一个球, 该球的编号为m, 将球放回袋中, 然后再从袋 中随机取一个球, 该球的编号为n, 求n < m + 2 的概率.
4. 4. 在如图所示的几何体中, 四边形ABCD 是正方形, MA ⊥平面ABCD, PD MA, E, G, F 分别为MB, PB, PC 的中点, 且AD = PD = 2MA. (1) 求证: 平面EFG ⊥平面PDC; (2) 求三棱锥P −MAB 与四棱锥P −ABCD 的体积之比. A B C D M E P F G
5. 5. 已知函数f (x) = ln x −ax + 1 −a x −1 (a ∈R). (1) 当a = −1 时, 求曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程; (2) 当a ⩽1 2 时, 讨论f (x) 的单调性;
6. 6. 如图, 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 过点 ( 1, √ 2 2 ) , 离心率为 √ 2 2 , 左、右焦点分别为F1、F2. 点P 为直线l: x + y = 2 上且不在x 轴上的 任意一点, 直线PF1 和PF2 与椭圆的交点分别为A、B 和C、D, O 为坐 标原点. (1) 求椭圆的标准方程; (2) 设直线PF1、PF2 的斜线分别为k1、k2. ①证明: 1 k1 −3 k2 = 2; ②问直线l 上是否存在点P, 使得直线OA、OB、OC、OD 的斜率 kOA、kOB、kOC、kOD 满足kOA + kOB + kOC + kOD = 0? 若存在, 求出 所有满足条件的点P 的坐标; 若不存在, 说明理由. x y O P D A B C l F1 F2 622

原卷配图（含真实几何/应用题图示）