2010年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = R, 集合M = {x | |x −1| ⩽2}, 则∁UM = ( ) 5分
   A. {x | −1 < x < 3} B. {x | −1 ⩽x ⩽3} C. {x | x < −1 或x > 3} D. {x | x ⩽−1 或x ⩾3}
2. 2. 已知a + 2i i = b + i (a, b ∈R), 其中i 为虚数单位, 则a + b = ( ) 5分
   A. −1 B. 1 C. 2 D. 3
3. 3. 在空间, 下列命题正确的是 ( ) 5分
   A. 平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行(D) 垂直于同一平面的两条直线平行
4. 4. 设f (x) 为定义在R 上的奇函数, 当x ⩾0 时, f (x) = 2x + 2x + b (b 为常 数), 则f (−1) = ( ) 5分
   A. 3 B. 1 C. −1 D. −3
5. 5. 已知随机变量ξ 服从正态分布N (0, σ2). 若P (ξ > 2) = 0.023, 则 P (−2 ⩽ξ ⩽2) = ( ) 5分
   A. 0.477 B. 0.628 C. 0.954 D. 0.977
6. 6. 样本中共有五个个体, 其值分别为a, 0, 1, 2, 3. 若该样本的平均值为1, 则 样本方差为 ( ) (A) √ 6 5 5 (C) √ 2 5分
   B. 6 D. 2
7. 7. 由曲线y = x2, y = x3 围成的封闭图形面积为 ( ) 12 4 3 12 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 7
8. 8. 某台小型晚会由6 个节目组成, 演出顺序有如下要求: 节目甲必须排在前 两位、节目乙不能排在第一位, 节目丙必须排在最后一位, 该台晚会节目演 出顺序的编排方案共有 ( ) 5分
   A. 36 种 B. 42 种 C. 48 种 D. 54 种
9. 9. 设{an} 是等比数列, 则“a1 < a2 < a3”是“数列{an} 是递增数列”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 10. 设变量x, y 满足约束条件        x −y + 2 ⩾0, x −5y + 10 ⩽0, x + y −8 ⩽0, 则目标函数z = 3x −4y 的 最大值和最小值分别为 ( ) 5分
    A. 3, −11 B. −3, −11 C. 11, −3 D. 11, 3
11. 11. 函数y = 2x −x2 的图象大致是 ( ) (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分
12. 12. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下: 对任意的a = (m, n), b = (p, q). 令a ⊙b = mq −np. 下面说法错误的是 ( ) 5分
    A. 若a 与b 共线, 则a ⊙b = 0 B. a ⊙b = b ⊙a C. 对任意的λ ∈R, 有(λa) ⊙b = λ (a ⊙b) D. (a ⊙b)2 + (a · b)2 = |a|2 |b|2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 执行如图所示的程序框图, 若输入x = 10, 则输出y 的值为 . 开始 输入x y = 1 2x −1 x = y |y −x| < 1 输出y 结束 是 否 5分
2. 2. 若对任意x > 0, x x2 + 3x + 1 ⩽a 恒成立, 则a 的取值范围是 . 5分
3. 3. 在△ABC 中, A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 若a = √ 2, b = 2, sin B + cos B = √ 2, 则角A 的大小为 . 5分
4. 4. 已知圆C 过点(1, 0), 且圆心在x 轴的正半轴上, 直线l: y = x −1 被圆C 所截得的弦长为2 √ 2, 则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 1 2 sin 2x sin φ+cos2x cos φ−1 2 sin (π 2 + φ ) (0 < φ < π), 其图象过点 (π 6 , 1 2 ) . (1) 求φ 的值; (2) 将函数y = f (x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2, 纵坐标不变, 得到函数y = g (x) 的图象, 求函数g (x) 在 [ 0, π 4 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 已知等差数列{an} 满足: a3 = 7, a5 + a7 = 26. 数列{an} 的前n 项和为 Sn. (1) 求an 及Sn; (2) 令bn = 1 a2 n −1 (n ∈N∗), 求数列{bn} 的前n 项和Tn. 619
3. 3. 如图, 在五棱锥P −ABCDE 中, PA ⊥平面ABCDE, AB CD, AC ED, AE BC, ∠ABC = 45◦, AB = 2 √ 2, BC = 2AE = 4, 三角形PAB 是等腰三角形. (1) 求证: 平面PCD ⊥平面PAC; (2) 求直线PB 与平面PCD 所成角的大小; (3) 求四棱锥P −ACDE 的体积. A E B C P D
4. 4. 某学校举行知识竞赛, 第一轮选拔共设有A、B、C、D 四个问题, 规则如 下: ①每位参加者计分器的初始分均为10 分, 答对问题A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分, 答错任一题减2 分; ②每回答一题, 计分器显示累计分数, 当累计分数小于8 分时, 答题结束, 淘汰出局; 当累计分数大于或等于14 分时, 答题结束, 进入下一轮; 当答完 四题, 累计分数仍不足14 分时, 答题结束, 淘汰出局; ③每位参加者按问题A、B、C、D 顺序作答, 直至答题结束. 假设甲同学对问题A、B、C、D 回答正确的概率依次为3 4, 1 2, 1 3, 1 4, 且各 题回答正确与否相互之间没有影响. (1) 求甲同学能进入下一轮的概率; (2) 用ξ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数, 求ξ 的分布列和数学期 望Eξ.
5. 5. 如图, 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 2 2 , 以该椭圆上的点 和椭圆的左、右焦点F1, F2 为顶点的三角形的周长为4 (√ 2 + 1 ) . 一等轴 双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 直 线PF1 和PF2 与椭圆的交点分别为A、B 和C、D. (1) 求椭圆和双曲线的标准方程; (2) 设直线PF1、PF2 的斜率分别为k1、k2, 证明: k1 · k2 = 1; (3) 是否存在常数λ, 使得|AB| + |CD| = λ |AB| · |CD| 恒成立? 若存在, 求λ 的值; 若不存在, 请说明理由. x y O P D A B C F1 F2
6. 6. 已知函数f (x) = ln x −ax + 1 −a x −1 (a ∈R). (1) 当a ⩽1 2 时, 讨论f (x) 的单调性; (2) 设g (x) = x2 −2bx + 4, 当a = 1 4 时, 若对任意x1 ∈(0, 2), 存在 x2 ∈[1, 2], 使f (x1) ⩾g (x2), 求实数b 的取值范围. 620

原卷配图（含真实几何/应用题图示）