2010年广东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若集合A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 4}, 则集合A ∪B = ( ) 5分
   A. {0, 1, 2, 3, 4}(B) {1, 2, 3, 4} C. {1, 2} D. {0}
2. 2. 函数f (x) = lg (x −1) 的定义域是 ( ) 5分
   A. (2, +∞) B. (1, +∞) C. [1, +∞) D. [2, +∞)
3. 3. 若函数f (x) = 3x + 3−x 与g (x) = 3x −3−x 的定义域均为R, 则 ( ) 5分
   A. f (x) 与g (x) 均为偶函数 B. f (x) 为奇函数, g (x) 为偶函数 C. f (x) 与g (x) 均为奇函数 D. f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数
4. 4. 已知数列{an} 为等比数列, Sn 是它的前n 项和, 若a2·a3 = 2a1, 且a4 与 2a7 的等差中项为5 4, 则S5 = ( ) 5分
   A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
5. 5. 若向量a = (1, 1), b = (2, 5), c = (3, x) 满足条件(8a −b) · c = 30, 则 x= ( ) 5分
   A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6. 6. 若圆心在x 轴上、半径为 √ 5 的圆O 位于y 轴左侧, 且与直线x + 2y = 0 相切, 则圆O 的方程是 ( ) (A) ( x − √ 5 )2 + y2 = 5 (B) ( x + √ 5 )2 + y2 = 5 5分
   C. (x −5)2 + y2 = 5 D. (x + 5)2 + y2 = 5
7. 7. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心 率是 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 8. “x > 0”是“ 3√ x2 > 0”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件
9. 9. 如图, △ABC 为正三角形, AA′ BB′ CC′, CC′ ⊥平面ABC, 且 3AA′ = 3 2BB′ = CC′ = AB, 则多面体ABC −A′B′C′ 的正视图(也称主 视图) 是 ( ) A′ B′ C′ A B C (A) (B) (C) (D) 5分
10. 10. 在集合{a, b, c, d} 上定义两种运算⊕和⊗如下: ⊕ a b c d a a b c d b b b b b c c b c b d d b b d ⊗ a b c d a a a a a b a b c d c a c c a d a d a d 那么d ⊗(a ⊕c) = ( ) 5分
    A. a B. b C. c D. d

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 某城市缺水问题比较突出, 为了制定节水管理办法, 对全市居民某年的月 均用水量进行了抽样调查, 其中4 位居民的月均用水量分别为x1, · · · , x4 (单位: 吨). 根据如图所示的程序框图, 若x1, x2, x3, x4 分别为1, 1.5, 1.5, 2, 则输出的结果s 为 . 开始 输入x1, · · · , x4 s1 = 0, i = 1 i ⩽4 s1 = s1 + xi s = 1 i s1 i = i + 1 输出s 结束 否 是 5分
2. 2. 某市居民2005 −2009 年家庭年平均收入x (单位: 万元) 与年平均支出Y (单位: 万元) 的统计资料如下表所示: 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入x 11.5 12.1 13 5分
3. 3. 3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数是 , 家庭年平均收入 与年平均支出有 (填“正”或“负”) 线性相关关系. 13. 已知a, b, c 分别是△ABC 的三个内角A, B, C 所对的边. 若a = 1, √ 3, A + C = 2B, 则sin A = . 5分
   B. =
4. 4. 如图, 在直角梯形ABCD 中, DC AB, CB ⊥AB, AB = AD = a, CD = a 2, 点E, F 分别为线段AB, AD 的中点, 则EF = . A F B C D E 5分
5. 5. 在极坐标系(ρ, θ) (0 ⩽θ < 2π) 中, 曲线ρ (cos θ + sin θ) = 1 与 ρ (sin θ −cos θ) = 1 的交点的极坐标为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f (x) = 3 sin ( ωx + π 6 ) , ω > 0, x ∈(−∞, +∞), 且以π 2 为最小正 周期. (1) 求f (0); (2) 求f (x) 的解析式; (3) 已知f (α 4 + π 12 ) = 9 5, 求sin α 的值.
2. 2. 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中, 随机抽取 了100 名电视观众, 相关的数据如下表所示: 文艺节目 新闻节目 总计 20 到40 岁 40 18 58 大于40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 (1) 由表中数据直观分析, 收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5 名, 大于40 岁的 观众应该抽取几名? (3) 在上述抽取的5 名观众中任取2 名, 求恰有1 名观众的年龄为20 至 40 岁的概率. 595
3. 3. 如图, ˘ AEC 是半径为a 的半圆, AC 为直径, 点E 为˜ AC 的中点, 点B 和点C 为线段AD 的三等分点, 平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面 BED, FB = √ 5a. . (1) 证明: EB ⊥FD; (2) 求点B 到平面FED 的距离. A B C D E F
4. 4. 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含12 个单 位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和6 个单位的维生素C; 一个单位的 晚餐含8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和10 个单位的维生素 个单位的蛋白质和54 个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的 费用分别是2.5 元和4 元, 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少, 应 当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
5. 5. 已知函数f (x) 对任意实数x 均有f (x) = kf (x + 2), 其中常数k 为负数, 且f (x) 在区间[0, 2] 上有表达式f (x) = x (x −2). (1) 求f (−1), f (2.5) 的值; (2) 写出f (x) 在[−3, 3] 上的表达式, 并讨论函数f (x) 在[−3, 3] 上的单 调性; (3) 求出f (x) 在[−3, 3] 上的最小值与最大值, 并求出相应的自变量的取 值.
6. 6. 已知曲线Cn: y = nx2, 点Pn (xn, yn) (xn > 0, yn > 0) 是曲线Cn 上的点 (n = 1, 2, · · · ). (1) 试写出曲线Cn 在点Pn 处的切线ln 的方程, 并求出ln 与y 轴的交点 Qn 的坐标; (2) 若原点O (0, 0) 到ln 的距离与线段PnQn 的长度之比取得最大值, 试 求点Pn 的坐标(xn, yn); (3) 设m 与k 为两个给定的不同的正整数, xn 与yn 是满足(2) 中条件 的点Pn 的坐标, 证明: s∑ n=1  √ (m + 1) xn 2 − √ (k + 1) yn  < √ms − √ ks  (s = 1, 2, · · · ). 596

原卷配图（含真实几何/应用题图示）