2010年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 若集合A = {x | −2 < x < 1}, B = {x | 0 < x < 2}, 则集合A ∩B = ( ) 5分
   A. {x | −1 < x < 1} B. {x | −2 < x < 1} C. {x | −2 < x < 2} D. {x | 0 < x < 1}
2. 2. 若复数z1 = 1 + i, z2 = 3 −i, 则z1 · z2 = ( ) 5分
   A. 4 + 2i B. 2 + i C. 2 + 2i D. 3 + i
3. 3. 若函数f (x) = 3x + 3−x 与g (x) = 3x −3−x 的定义域均为R, 则 ( ) 5分
   A. f (x) 与g (x) 均为偶函数 B. f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数 C. f (x) 与g (x) 均为奇函数 D. f (x) 为奇函数, g (x) 为偶函数
4. 4. 已知数列{an} 为等比数列, Sn 是它的前n 项和, 若a2·a3 = 2a1, 且a4 与 2a7 的等差中项为5 4, 则S5 = ( ) 5分
   A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
5. 5. “m < 1 4”是“一元二次方程x2 + x + m = 0 有实数解”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
6. 6. 如图, △ABC 为正三角形, AA′ BB′ CC′, CC′ ⊥平面ABC, 且 3AA′ = 3 2BB′ = CC′ = AB, 则多面体ABC −A′B′C′ 的正视图(也称主 视图) 是 ( ) A′ B′ C′ A B C (A) (B) (C) (D) 5分
7. 7. 已知随机变量X 服从正态分布N (3, 1), 且P (2 ⩽X ⩽4) = 0.6826, 则 P (X > 4) = ( ) 5分
   A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585
8. 8. 为了迎接2010 年广州亚运会, 某大楼安装5 个彩灯, 它们闪亮的顺序不固 定, 每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色, 且这5 个彩灯所 闪亮的颜色各不相同. 记这5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁, 在每个 闪烁中, 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮, 而相邻两个闪烁的时间间隔均为5 秒. 如果要实现所有不同的闪烁, 那么需要的时间至少是 ( ) 5分
   A. 1205 秒 B. 1200 秒 C. 1195 秒 D. 1190 秒

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 函数f (x) = lg (x −2) 的定义域是 . 5分
2. 2. 若向量a = (1, 1, x), b = (1, 2, 1), c = (1, 1, 1), 满足条件(c −a) · (2b) = −2, 则x = . 5分
3. 3. 已知a, b, c 分别是△ABC 的三个内角A, B, C 所对的边. 若a = 1, √ 3, A + C = 2B, 则sin C = . 5分
   B. =
4. 4. 若圆心在x 轴上、半径为 √ 2 的圆O 位于y 轴左侧, 且与直线x + y = 0 相切, 则圆O 的方程是 . 5分
5. 5. 某城市缺水问题比较突出, 为了制定节水管理办法, 对全市居民某年的月 均用水量进行了抽样调查, 其中n 位居民的月均用水量分别为x1, · · · , xn (单位: 吨). 根据如图所示的程序框图, 若n = 2, 且x1, x2 分别为1, 2, 则 输出的结果s 为 . 开始 输入n, x1, x2, · · · , xn s1 = 0, s2 = 0, i = 1 i ⩽n s1 = s1 + xi s2 = s2 + x2 i s = 1 i ( s2 −1 i s2 1 ) i = i + 1 输出s 结束 否 是 5分
6. 6. 如图, AB, CD 是半径为a 的圆O 的两条弦, 它们相交于AB 的中点P, PD = 2a 3 , ∠OAP = 30◦, 则CP = . A O B C D P 5分
7. 7. 在极坐标系(ρ, θ) (0 ⩽θ < 2π) 中, 曲线ρ = 2 sin θ 与ρ cos θ = −1 的交 点的极坐标为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = A sin (3x + φ) (A > 0, x ∈(−∞, +∞) , 0 < φ < π) 在 x = π 12 时取得最大值4. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 的解析式; (3) 若f (2 3α + π 12 ) = 12 5 , 求sin α.
2. 2. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, 随机抽取该流水线上 的40 件产品作为样本称出它们的重量(单位: 克), 重量的分组区间为 (490, 495], (495, 500], · · · , (510, 515], 由此得到样本的频率分布直方图, 如 图所示. 频率 组距 0 重量/克 490 495 500 505 510 515 0.03 0.04 0.07 0.05 0.01 (1) 根据频率分布直方图, 求重量超过505 克的产品数量; (2) 在上述抽取的40 件产品中任取2 件, 设Y 为重量超过505 克的产品 数量, 求Y 的分布列; (3) 从流水线上任取5 件产品, 求恰有2 件产品合格的重量超过505 克的 概率. 593
3. 3. 如图, ˘ AEC 是半径为a 的半圆, AC 为直径, 点E 为˜ AC 的中点, 点B 和点 √ 5a, EF = √ 6a. (1) 证明: EB ⊥FD; (2) 已知点Q, R 分别为线段FE, FB 上的点, 使得FQ = 2 3FE, FR = 2 3FB, 求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值. R Q A B C D E F
4. 4. 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含12 个单 位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和6 个单位的维生素C; 一个单位的 晚餐含8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和10 个单位的维生素 个单位的蛋白质和54 个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的 费用分别是2.5 元和4 元, 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少, 应 当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
5. 5. 已知双曲线x2 2 −y2 = 1 的左、右顶点分别为A1, A2, 点P (x1, y1), Q (x1, −y1) 是双曲线上不同的两个动点. (1) 求直线A1P 与A2Q 交点的轨迹E 的方程; (2) 若过点H (0, h) (h > 1) 的两条直线l1 和l2 与轨迹E 都只有一个交 点, 且l1 ⊥l2, 求h 的值.
6. 6. 设A (x1, y1), B (x2, y2) 是平面直角坐标系xOy 上的两点, 现定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ (A, B) 为ρ (A, B) = |x2 −x1| + |y2 −y1|. 对于 平面xOy 上给定的不同的两点A (x1, y1), B (x2, y2), (1) 若点C (x, y) 是平面xOy 上的点, 试证明ρ (A, C)+ρ (C, B) ⩾ρ (A, B); (2) 在平面xOy 上是否存在点C (x, y), 同时满足①ρ (A, C) + ρ (C, B) = ρ (A, B); ②ρ (A, C) = ρ (C, B). 若存在, 请求出所有符合条件的点; 若不 存在, 请予以证明. 594

原卷配图（含真实几何/应用题图示）