本卷为官方高考数学真题（2010年新课标卷（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合A = {x | |x| ⩽2, x ∈R}, B = {x | √x ⩽4, x ∈Z}, 则A ∩
(
) 5分
B. =
A. (0, 2)
B. [0, 2]
C. {0, 2}
D. {0, 1, 2}
-
2. 已知a, b 为平面向量, 若a = (4, 3), 2a + b = (3, 18), 则a, b 夹角的余弦
值等于
(
)
65
65
65
65 5分
A. 8
B. −8
C. 16
D. −16
-
3. 已知复数z =
√
3 + i
(
1 −
√
3i
)2 , 则|z| =
(
)
4
2 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
-
4. 曲线y = x3 −2x + 1 在点(1, 0) 处的切线方程为
(
) 5分
A. y = x −1
B. y = −x + 1
C. y = 2x −2
D. y = −2x + 2
-
5. 中心在原点, 焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, 2), 则它的离
心率为
(
)
(A)
√
6
(B)
√
5
(C)
√
6
2
(D)
√
5
2 5分
-
6. 如图,
质点P
在半径为2 的圆周上逆时针运动,
其初始位置为
P0
(√
2, −
√
2
)
, 角速度为1, 那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的
函数图象大致为
(
)
x
y
P
P0
O
(A)
x
y
2
π
O
(B)
x
y
2
√
2
3π
4
O
(C)
x
y
2
√
2
π
4
O
(D)
x
y
2
π
4
O 5分
-
7. 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a, 其顶点都在一个球面上, 则该球的
表面积为
(
) 5分
A. 3πa2
B. 6πa2
C. 12πa2
D. 24πa2
-
8. 如果执行如图所示的框图, 输入N = 5, 则输出的数等于
(
)
开始
输入N
k = 1, S = 0
S = S +
1
k(k + 1)
k < N
k = k + 1
输出S
结束
否
是
4
5
5
6 5分
A. 5
B. 4
C. 6
D. 5
-
9. 设偶函数f (x) 满足f (x) = 2x −4 (x ⩾0), 则{x | f (x −2) > 0} = (
) 5分
A. {x | x < −2 或x > 4}
B. {x | x < 0 或x > 4}
C. {x | x < 0 或x > 6}
D. {x | x < −2 或x > 2}
-
10. 若cos α = −4
5, α 是第三象限的角, 则sin
(
α + π
4
)
=
(
)
√
2
10
√
2
10
√
2
10
(D)
√
2
10 5分
A. −7
B. 7
C. −
-
11. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A (−1, 2)、B (3, 4)、C (4, −2), 点
(x, y) 在平行四边形ABCD 的内部, 则z = 2x −5y 的取值范围是
(
) 5分
A. (−14, 16)
B. (−14, 20)
C. (−12, 18)
D. (−12, 20)
-
12. 已知函数f (x) =
| lg x|,
0 < x ⩽10,
−1
2x + 6,
x > 10,
若a, b, c 互不相等, 且
(
) 5分
F. (a) = f (b) = f (c), 则abc 的取值范围是
A. (1, 10)
B. (5, 6)
C. (10, 12)
D. (20, 24)
-
1. 圆心位于原点且与直线x + y −2 = 0 相切的圆的方程为
. 5分
-
2. 设函数y = f (x) 在区间[0, 1] 上的图象是连续不断的一条曲线, 且恒
有0 ⩽f (x) ⩽1, 可以用随机模拟方法近似计算由曲线y = f (x) 及
直线x = 0, x = 1, y = 0 所围成部分的面积S, 先产生两组(每组N
个) 区间[0, 1] 上的均匀随机数x1, x2, · · · , xN 和y1, y2, · · · , yN, 由此
得到N 个点(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , N).
再数出其中满足yi ⩽f (xi)
(i = 1, 2, · · · , N) 的点数N1, 那么由随机模拟方法可得S 的近似值
为
. 5分
-
3. 一个几何体的正视图为一个三角形, 则这个几何体可能是下列几何体中
的
. (填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥
②四棱锥
③三棱柱
④四棱柱
⑤圆锥
⑥圆柱 5分
-
4. 在△ABC 中, D 为BC 边上一点, BC = 3BD, AD =
√
2, ∠ADB = 135◦.
若AC =
√
2AB, 则BD =
. 5分
-
1. 设等差数列{an} 满足a3 = 5, a10 = −9.
(1) 求{an} 的通项公式;
(2) 求{an} 的前n 项和Sn 及使得Sn 最大的序号n 的值.
-
2. 如图, 已知四棱锥P −ABCD 的底面为等腰梯形, AB
CD, AC ⊥BD,
垂足为H, PH 是四棱锥的高.
(1) 证明: 平面PAC ⊥平面PBD;
(2) 若AB =
√
6, ∠APB = ∠ADB = 60◦, 求四棱锥P −ABCD 的体积.
A
B
D
C
P
H
617
-
3. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地
区调查了500 位老年人, 结果如下:
是否需要志愿者
性别
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1) 估计该地区老年人中, 需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2) 能否有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性
别有关?
(3) 根据(2) 的结论, 能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人, 需要
志愿者帮助的老年人的比例? 说明理由.
附:
P (K2 ⩾k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2 =
n(ad −bc)2
-
4. 设F1, F2 分别是椭圆E: x2 + y2
b2 = 1 (0 < b < 1) 的左、右焦点, 过F1 的
直线l 与E 相交于A、B 两点, 且|AF2|, |AB|, |BF2| 成等差数列.
(1) 求|AB|;
(2) 若直线l 的斜率为1, 求b 的值.
-
5. 设函数f(x) = x (ex −1) −ax2.
(1) 若a = 1
2, 求f(x) 的单调区间;
(2) 若当x ⩾0 时, f(x) ⩾0, 求a 的取值范围.
-
6. 如图, 已知圆上的弧˜
AC = ¯
BD, 过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于
(1) ∠ACE = ∠BCD;
(2) BC2 = BE · CD.
A
E
B
C
D
-
7. 已知直线C1:
{
x = 1 + t cos α,
y = t sin α,
(t 为参数), 圆C2:
{
x = cos θ,
y = sin θ,
(θ 为参
数).
(1) 当α = π
3 时, 求C1 与C2 的交点坐标;
(2) 过坐标原点O 作C1 的垂线, 垂足为A, P 为OA 的中点, 当α 变化
时, 求点P 轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线.
-
8. 设函数f (x) = |2x −4| + 1.
(1) 画出函数y = f (x) 的图象;
(2) 若不等式f (x) ⩽ax 的解集非空, 求a 的取值范围.
x
O
1
y
1
618
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