2010年新课标卷（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年新课标卷（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | |x| ⩽2, x ∈R}, B = {x | √x ⩽4, x ∈Z}, 则A ∩ ( ) 5分
   B. = A. (0, 2) B. [0, 2] C. {0, 2} D. {0, 1, 2}
2. 2. 已知复数z = √ 3 + i ( 1 − √ 3i )2 , z 是z 的共轭复数, 则z · z = ( ) 4 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
3. 3. 曲线y = x x + 2 在点(−1, −1) 处的切线方程为 ( ) 5分
   A. y = 2x + 1 B. y = 2x −1 C. y = −2x −3 D. y = −2x −2
4. 4. 如图, 质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P0 (√ 2, − √ 2 ) , 角速度为1, 那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的 函数图象大致为 ( ) x y P P0 O (A) x y 2 π O (B) x y 2 √ 2 3π 4 O (C) x y 2 √ 2 π 4 O (D) x y 2 π 4 O 5分
5. 5. 已知命题p1: 函数y = 2x −2−x 在R 为增函数; p2: 函数y = 2x + 2−x 在R 为减函数. 则在命题q1: p1 ∨p2, q2: p1 ∧p2, q3: (¬p1) ∨p2 和q4: p1 ∧(¬p2) 中, 真命题是 ( ) 5分
   A. q1, q3 B. q2, q3 C. q1, q4 D. q2, q4
6. 6. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9, 现播种了1000 粒, 对于没有发芽的种 子, 每粒需再补种2 粒, 补种的种子数记为X, 则X 的数学期望为 ( ) 5分
   A. 100 B. 200 C. 300 D. 400
7. 7. 如果执行如图所示的框图, 输入N = 5, 则输出的数等于 ( ) 开始 输入N k = 1, S = 0 S = S + 1 k(k + 1) k < N k = k + 1 输出S 结束 否 是 4 5 5 6 5分
   A. 5 B. 4 C. 6 D. 5
8. 8. 设偶函数f (x) 满足f (x) = x3 −8 (x ⩾0), 则{x | f (x −2) > 0} = ( ) 5分
   A. {x | x < −2 或x > 4} B. {x | x < 0 或x > 4} C. {x | x < 0 或x > 6} D. {x | x < −2 或x > 2}
9. 9. 若cos α = −4 5, α 是第三象限的角, 则 1 + tan α 2 1 −tan α 2 = ( ) 2 2 5分
   A. −1 B. 1 C. 2 D. −2
10. 10. 设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱长都为a, 顶点都在一个球面上, 则该 球的表面积为 ( ) 3πa2 3 πa2 5分
    A. πa2 B. 7 C. 11 D. 5πa2
11. 11. 已知函数f (x) =    | lg x|, 0 < x ⩽10, −1 2x + 6, x > 10, 若a, b, c 互不相等, 且 ( ) 5分
    F. (a) = f (b) = f (c), 则abc 的取值范围是 A. (1, 10) B. (5, 6) C. (10, 12) D. (20, 24)
12. 12. 已知双曲线E 的中心为原点, F (3, 0) 是E 的焦点, 过F 的直线l 与E 相 交于A, B 两点, 且AB 的中点为N (−12, −15), 则E 的方程为 ( ) 3 −y2 6 = 1 (B) x2 4 −y2 5 = 1 6 −y2 3 = 1 5 −y2 4 = 1 5分
    A. x2 C. x2 D. x2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设y = f (x) 为区间[0, 1] 上的连续函数, 且恒有0 ⩽f (x) ⩽1, 可以用随 机模拟方法近似计算积分 ∫1 0 上的均匀随机数x1, x2, · · · , xN 和y1, y2, · · · , yN, 由此得到N 个点(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , N), 再数出其中满足yi ⩽f (xi) (i = 1, 2, · · · , N) 的点 数N1, 那么由随机模拟方法可得积分 ∫1 0 . 5分
   F. (x) dx. 先产生两组(每组N 个) 区间[0, 1] F. (x) dx 的近似值为
2. 2. 正视图为一个三角形的几何体可以是 . (写出三种) 5分
3. 3. 过点A(4, 1) 的圆C 与直线x −y −1 = 0 相切于点B (2, 1), 则圆C 的方 程为 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, D 为边BC 上一点, BD = 1 2DC, ∠ADB = 120◦, AD = 2, 若△ADC 的面积为3 − √ 3, 则∠BAC = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 设数列{an} 满足a1 = 2, an+1 −an = 3 · 22n−1. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 令bn = nan, 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
2. 2. 如图, 已知四棱锥P −ABCD 的底面为等腰梯形, AB CD, AC ⊥BD, 垂足为H, PH 是四棱锥的高, E 为AD 中点. (1) 证明: PE ⊥BC; (2) 若∠APB = ∠ADB = 60◦, 求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦 值. A B D C P E H 615
3. 3. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地 区调查了500 位老年人, 结果如下: 是否需要志愿者 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1) 估计该地区老年人中, 需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2) 能否有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性 别有关? (3) 根据(2) 的结论, 能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人, 需要 志愿者帮助的老年人的比例? 说明理由. 附: P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2 = n(ad −bc)2
4. 4. 设F1, F2 分别是椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, 过F1 且斜率为1 的直线l 与E 相交于A、B 两点, 且|AF2|, |AB|, |BF2| 成等 差数列. (1) 求E 的离心率; (2) 设点P (0, −1) 满足|PA| = |PB|, 求E 的方程.
5. 5. 设函数f (x) = ex −1 −x −ax2. (1) 若a = 0, 求f (x) 的单调区间; (2) 若当x ⩾0 时f (x) ⩾0, 求a 的取值范围.
6. 6. 如图, 已知圆上的弧˜ AC = ¯ BD, 过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于 (1) ∠ACE = ∠BCD; (2) BC2 = BE · CD. A E B C D
7. 7. 已知直线C1: { x = 1 + t cos α, y = t sin α, (t 为参数), 圆C2: { x = cos θ, y = sin θ, (θ 为参 数). (1) 当α = π 3 时, 求C1 与C2 的交点坐标; (2) 过坐标原点O 作C1 的垂线, 垂足为A, P 为OA 的中点, 当α 变化 时, 求点P 轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线.
8. 8. 设函数f (x) = |2x −4| + 1. (1) 画出函数y = f (x) 的图象; (2) 若不等式f (x) ⩽ax 的解集非空, 求a 的取值范围. x O 1 y 1 616

原卷配图（含真实几何/应用题图示）