2010年江苏

本卷为官方高考数学真题（2010年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 设集合A = {−1, 1, 3}, B = {a + 2, a2 + 4}, A ∩B = {3}, 则实数 . 5分
   A. =
2. 2. 设复数z 满足z (2 −3i) = 6 + 4i (其中i 为虚数单位), 则z 的模为 . 5分
3. 3. 盒子中有大小相同的3 只白球, 1 只黑球, 若从中随机地摸出两只球, 则它 们颜色不同的概率是 . 5分
4. 4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量, 从中随机抽取了100 根棉花纤维的长 度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标), 所得数据都在区间[5, 40] 中, 其频率分布直方图如图所示, 则其抽样的100 根中, 有 根棉花纤维 的长度小于20 mm. 频率 组距 0 长度(mm) 0.04 0.06 0.05 0.02 0.01 5 10 15 20 25 30 35 40 5分
5. 5. 设函数f (x) = x (ex + ae−x), x ∈R 是偶函数, 则实数a 的值为 . 5分
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知双曲线x2 4 −y2 12 = 1 上一点M 的横坐标 为3, 则点M 到此双曲线的右焦点的距离为 . 5分
7. 7. 如图是一个算法流程图, 则输出S 的值是 . 开始 S ←1 n ←1 S ←S + 2n n ←n + 1 S ⩾33 输出S 结束 Y N 5分
8. 8. 函数y = x2 (x > 0) 的图象在点(ak, a2 k) 处的切线与x 轴交点的横坐标为 ak+1, 其中k ∈N∗. 若a1 = 16, 则a1 + a3 + a5 的值是 . 5分
9. 9. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆x2 + y2 = 4 上有且仅有四个点到直线 12x −5y + c = 0 的距离为1, 则实数c 的取值范围是 . 5分
10. 10. 定义在区间 ( 0, π 2 ) 上的函数y = 6 cos x 的图象与y = 5 tan x 的图象的交 于点P, 过点P 作x 轴的垂线, 垂足为P1, 直线PP1 与y = sin x 的图象 交于点P2, 则线段P1P2 的长为 . 5分
11. 11. 已知函数f (x) = { x2 + 1, x ⩾0, 1, x < 0, 则满足不等式f (1 −x2) > f (2x) 的 x 的取值范围是 . 5分
12. 12. 设实数x, y 满足3 ⩽xy2 ⩽8, 4 ⩽x2 y ⩽9, 则x3 y4 的最大值是 . 5分
13. 13. 在锐角△ABC 中, 角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 若b 则tan C tan A + tan C tan B 的值是 . 5分
    A. + a B. = 6 cos C,
14. 14. 将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块, 其中 一块是梯形, 记s = (梯形的周长) 2 梯形的面积, 则s 的最小值是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (−1, −2)、B (2, 3)、C (−2, −1). (1) 求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2) 设实数t 满足 (# » AB −t# » OC ) · # » OC = 0, 求t 的值.
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PD ⊥平面ABCD, PD = DC = BC = 1, AB = 2, AB DC, ∠BCD = 90◦. (1) 求证: PC ⊥BC; (2) 求点A 到平面PBC 的距离. A B C D P
3. 3. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位: m). 如示意图, 垂直放置的 标杆BC 的高度h = 4 m, 仰角∠ABE = α, ∠ADE = β. (1) 该小组已经测得一组α, β 的值, 算出了tan α = 1.24, tan β = 1.20, 请 据此算出H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后, 发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位: m), 使α 与β 之差较大, 可以提高测量精度. 若电视塔实际高度为 125 m, 试问d 为多少时, α −β 最大. A α β B C D E d
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 如图, 已知椭圆x2 9 + y2 5 = 1 的左、右顶点为 点M (x1, y1), N (x2, y2), 其中m > 0, y1 > 0, y2 < 0. (1) 设动点P 满足PF 2 −PB2 = 4, 求点P 的轨迹; (2) 设x1 = 2, x2 = 1 3, 求点T 的坐标; (3) 设t = 9, 求证: 直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关). x y O F A B • 605
5. 5. 设各项均为正数的数列{an} 的前n 项和为Sn. 已知2a2 = a1 + a3, 数列 {√Sn } 是公差为d 的等差数列. (1) 求数列{an} 的通项公式(用n, d 表示); (2) 设c 为实数, 对满足m + n = 3k 且m̸ = n 的任意正整数m, n, k, 不 等式Sm + Sn > cSk 都成立. 求证: c 的最大值为9 2.
6. 6. 设f (x) 是定义在区间(1, +∞) 上的函数, 其导函数为f ′ (x). 如果存在实 数a 和函数h (x), 其中h (x) 对任意的x ∈(1, +∞) 都有h (x) > 0, 使得 (1) 设函数f (x) = ln x + b + 2 x + 1 (x > 1), 其中b 为实数. ①求证: 函数f (x) 具有性质P (b); ②求函数f (x) 的单调区间. (2) 已知函数g (x) 具有性质P (2), 给定x1, x2 ∈(1, +∞), x1 < x2, 设m 为实数. α = mx1 + (1 −m) x2, β = (1 −m) x1 + mx2, 且α > 1, β > 1, 若|g (α) −g (β)| < |g (x1) −g (x2)|, 求m 的取值范围.
7. 7. 四选二. 【A】如图, AB 是⊙O 的直径, D 为⊙O 上一点, 过点D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于点C. 若DA = DC, 求证: AB = 2BC. A O B C D • 【B】在平面直角坐标系xOy 中, A (0, 0), B (−2, 0), C (−2, 1), 设k 为非零 实数. 矩阵M = ( k 0 0 1 ) , N = ( 0 1 1 0 ) , 点A、B、C 在矩阵MN 对应 的变换下得到的点分别为A1、B1、C1, △A1B1C1 的面积是△ABC 面积 的2 倍, 求实数k 的值. 【C】在极坐标系中, 圆ρ = 2 cos θ 与直线3ρ cos θ + 4ρ sin θ + a = 0 相切, 求实数a 的值. 【D】设a, b 是非负实数, 求证: a3 + b3 ⩾ √ ab (a2 + b2).
8. 8. 某工厂生产甲、乙两种产品. 甲产品的一等品率为80%, 二等品率为20%; 乙产品的一等品率为90%, 二等品率为10%. 生产1 件甲产品, 若是一等 品则获得利润4 万元, 若是二等品则亏损1 万元; 生产1 件乙产品, 若是 一等品则获得利润6 万元, 若是二等品则亏损2 万元. 设生产各种产品相 互独立. (1) 记X (单位: 万元) 为生产1 件甲产品和1 件乙产品可获得的总利润, 求X 的分布列; (2) 求生产4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率.
9. 9. 已知△ABC 的三边长都是有理数. (1) 求证: cos A 是有理数; (2) 求证: 对任意正整数n, cos nA 是有理数. 606

原卷配图（含真实几何/应用题图示）