2010年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年江西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 对于实数a, b, c, “a > b”是“ac2 > bc2”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 2. 若集合A = {x | |x| ⩽1}, B = {x | x ⩾0}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {x | −1 ⩽x ⩽1} B. {x | x ⩾0} C. {x | 0 ⩽x ⩽1} D. ∅
3. 3. (1 −x)10 展开式中x3 项的系数为 ( ) 5分
   A. −720 B. 720 C. 120 D. −120
4. 4. 若函数f (x) = ax4 + bx2 + c 满足f ′ (1) = 2, 则f ′ (−1) = ( ) 5分
   A. −1 B. −2 C. 2 D. 0
5. 5. 不等式|x −2| > x −2 的解集是 ( ) 5分
   A. (−∞, 2) B. (−∞, +∞) C. (2, +∞) D. (−∞, 2) ∪(2, +∞)
6. 6. 函数y = sin2x + sin x −1 的值域为 ( ) (B) [ −5 4, −1 ] (C) [ −5 4, 1 ] (D) [ −1, 5 4 ] 5分
   A. [−1, 1]
7. 7. 等比数列{an} 中, |a1| = 1, a5 = −8a2, a5 > a2, 则an = ( ) 5分
   A. (−2)n−1 B. −(−2)n−1 C. (−2)n D. −(−2)n
8. 8. 若函数y = ax 1 + x 的图象关于直线y = x 对称, 则a 为 ( ) 5分
   A. 1 B. −1 C. ±1 D. 任意实数
9. 9. 有n 位同学参加某项选拔测试, 每位同学能通过测试的概率都是p (0 < p < 1), 假设每位同学能否通过测试是相互独立的, 则至少有一位同 学通过测试的概率为 ( ) 5分
   A. (1 −p)n B. 1 −pn C. pn D. 1 −(1 −p)n
10. 10. 直线y = kx + 3 与圆(x −2)2 + (y −3)2 = 4 相交于M、N 两点, 若 |MN| ⩾2 √ 3, 则k 的取值范围是 ( ) (A) [ −3 4, 0 ] (B) [ − √ 3 3 , √ 3 3 ] (C) [ − √ 3, √ 3 ] (D) [ −2 3, 0 ] 5分
11. 11. 如图, M 是正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱DD1 的中点, 给出下列命题: ①过M 点有且只有一条直线与直线AB、B1C1 都相交; ②过M 点有且只有一条直线与直线AB、B1C1 都垂直; ③过M 点有且只有一个平面与直线AB、B1C1 都相交; ④过M 点有且只有一个平面与直线AB、B1C1 都平行. 其中真命题是 ( ) B1 C1 D1 A1 B C D M A • 5分
    A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
12. 12. 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间, 各自作出三个函 数y = sin 2x, y = sin ( x + π 6 ) , y = sin ( x −π 3 ) 的图象如下. 结果发现其 中有一位同学作出的图象有错误, 那么有错误的图象是 ( ) (A) x (B) x (C) x (D) x 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知向量a, b 满足|b| = 2, a 与b 的夹角为60◦, 则b 在a 上的投影 是 . 5分
2. 2. 将5 位志愿者分成3 组, 其中两组各2 人, 另一组1 人, 分赴世博会的三 个不同场馆服务, 不同的分配方案有 种. (用数字作答) 5分
3. 3. 点A (x0, y0) 在双曲线x2 4 −y2 32 = 1 的右支上, 若点A 到右焦点的距离等 于2x0, 则x0 = . 5分
4. 4. 长方体ABCD −A1B1C1D1 的顶点均在同一个球面上, AB = AA1 = 1, BC = √ 2, 则A, B 两点间的球面距离为 . B1 C1 D1 A1 B C D A 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f (x) = 6x3 + 3 (a + 2) x2 + 2ax. (1) 若f (x) 的两个极值点为x1, x2, 且x1x2 = 1, 求实数a 的值; (2) 是否存在实数a, 使得f (x) 是(−∞, +∞) 上的单调函数? 若存在, 求 出a 的值; 若不存在, 说明理由.
2. 2. 某迷宫有三个通道, 进入迷宫的每个人都要经过一个智能门. 首次到达此 门, 系统会随机(即等可能) 为你打开一个通道. 若是1 号通道, 则需要1 小时走出迷宫; 若是2 号、3 号通道, 则分别需要2 小时、3 小时返回智能 门. 再次到达智能门时, 系统会随机打开一个你未到过的通道, 直至走出迷 宫为止. (1) 求走出迷宫时恰好用了1 小时的概率; (2) 求走出迷宫的时间超过3 小时的概率.
3. 3. 已知函数f (x) = (1 + cot x) sin2x −2 sin ( x + π 4 ) sin ( x −π 4 ) . (1) 若tan α = 2, 求f (α); (2) 若x ∈ [ π 12, π 2 ] , 求f (x) 的取值范围. 609
4. 4. 如图, △BCD 与△MCD 都是边长为2 的正三角形, 平面MCD ⊥平面 BCD, AB ⊥平面BCD, AB = 2 √ 3. (1) 求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小; (2) 求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值. B A M D C
5. 5. 如图, 已知抛物线C1: x2 + by = b2 经过椭圆C2: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点. (1) 求椭圆C2 的离心率; (2) 设Q (3, b), 又M, N 为C1 与C2 不在y 轴上的两个交点, 若△QMN 的重心在抛物线C1 上, 求C1 和C2 的方程. x y O Q M N
6. 6. 正实数数列{an} 中, a1 = 1, a2 = 5, 且{a2 n} 成等差数列. (1) 证明: 数列{an} 中有无穷多项为无理数; (2) 当n 为何值时, an 为整数, 并求出使an < 200 的所有整数项的和. 610

原卷配图（含真实几何/应用题图示）