2010年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知(x + i) (1 −i) = y, 则实数x, y 分别为 ( ) 5分
   A. x = −1, y = 1 B. x = −1, y = 2 C. x = 1, y = 1 D. x = 1, y = 2
2. 2. 已知集合A = {x | |x| ⩽1, x ∈R}, B = {y | y = x2, x ∈R}, 则A ∩ ( ) 5分
   B. = A. {x | −1 ⩽x ⩽1} B. {x | x ⩾0} C. {x | 0 ⩽x ⩽1} D. ∅
3. 3. 不等式  x −2 x  > x −2 x 的解集是 ( ) 5分
   A. (0, 2) B. (−∞, 0) C. (2, +∞) D. (−∞, 0) ∪(0, +∞)
4. 4. lim n→∞ ( 1 + 1 3 + 1 32 + · · · + 1 3n ) = ( ) 3 2 5分
   A. 5 B. 3 C. 2 D. 不存在
5. 5. 等比数列{an} 中, a1 = 2, a8 = 4, 函数f (x) = x(x−a1)(x−a2) · · · (x−a8), 则f ′ (0) = ( ) 5分
   A. 26 B. 29 C. 212 D. 215
6. 6. (2 −√x) 8 展开式中不含x4 项的系数的和为 ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 7. E, F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点, 则tan ∠ECF = ( ) 27 3 (C) √ 3 3 4 5分
   A. 16 B. 2 D. 3
8. 8. 直线y = kx + 3 与圆(x −3)2 + (y −2)2 = 4 相交于M, N 两点, 若 |MN| ⩾2 √ 3, 则k 的取值范围是 ( ) (A) [ −3 4, 0 ] (B) ( −∞, −3 4 ] ∪[0, +∞) (C) [ − √ 3 3 , √ 3 3 ] (D) [ −2 3, 0 ] 5分
9. 9. 给出下列三个命题: ①函数y = 1 2 ln 1 −cos x 1 + cos x 与y = ln tan x 2 是同一函数; ②若函数y = f (x) 与y = g (x) 的图象关于直线y = x 对称, 则函数 y = f (2x) 与y = 1 2g (x) 的图象也关于直线y = x 对称; ③若奇函数f (x) 对定义域内任意x 都有f (x) = f (2 −x), 则f (x) 为周 期函数. 其中真命题是 ( ) 5分
   A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②
10. 10. 过正方体ABCD −A1B1C1D1 的顶点A 作直线l, 使l 与棱AB, AD, AA1 所成的角都相等, 这样的直线l 可以作 ( ) B1 C1 D1 A1 B C D A 5分
    A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
11. 11. 一位国王的铸币大臣在每箱100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币, 国王怀疑 大臣作弊, 他用两种方法来检测. 方法一: 在10 箱中各任意抽查一枚; 方 法二: 在5 箱中各任意抽查两枚. 国王用方法一、二能发现至少一枚劣币 的概率分别记为p1 和p2. 则 ( ) 5分
    A. p1 = p2 B. p1 < p2 C. p1 > p2 D. 以上三种情况都有可能
12. 12. 如图, 一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直) 匀速地升出水面, 记t 时 刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t) (S (0) = 0), 则导函数y = S′ (t) 的图象大致为 ( ) (A) t y O (B) t y O (C) t y O (D) t y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知向量a, b 满足|a| = 1, |b| = 2, a 与b 的夹角为60◦, 则 |a −b| = . 5分
2. 2. 将6 位志愿者分成4 组, 其中两个组各2 人, 另两个组各1 人, 分赴世博 会的四个不同场馆服务, 不同的分配方案有 种. (用数字作答) 5分
3. 3. 点A (x0, y0) 在双曲线x2 4 −y2 32 = 1 的右支上, 若点A 到右焦点的距离等 于2x0, 则x0 = . 5分
4. 4. 如图, 在三棱锥O −ABC 中, 三条棱OA, OB, OC 两两垂直, 且 OA > OB > OC, 分别经过三条棱OA, OB, OC 作一个截面平分三棱 锥的体积, 截面面积依次为S1, S2, S3, 则S1, S2, S3 的大小关系为 . A O B C 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = (1 + cot x) sin2x + m sin ( x + π 4 ) sin ( x −π 4 ) . (1) 当m = 0 时, 求f (x) 在区间 [π 8 , 3π 4 ] 上的取值范围; (2) 当tan α = 2 时, f (α) = 3 5, 求m 的值.
2. 2. 某迷宫有三个通道, 进入迷宫的每个人都要经过一个智能门. 首次到达此 门, 系统会随机(即等可能) 为你打开一个通道. 若是1 号通道, 则需要1 小时走出迷宫; 若是2 号、3 号通道, 则分别需要2 小时、3 小时返回智能 门. 再次到达智能门时, 系统会随机打开一个你未到过的通道, 直至走出迷 宫为止. 令ξ 表示走出迷宫所需的时间. (1) 求ξ 的分布列; (2) 求ξ 的数学期望. 607
3. 3. 设函数f (x) = ln x + ln (2 −x) + ax (a > 0). (1) 当a = 1 时, 求f (x) 的单调区间; (2) 若f (x) 在(0, 1] 上的最大值为1 2, 求a 的值.
4. 4. 如图, △BCD 与△MCD 都是边长为2 的正三角形, 平面MCD ⊥平面 BCD, AB ⊥平面BCD, AB = 2 √ 3. (1) 求点A 到平面MBC 的距离; (2) 求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值. B A M D C
5. 5. 设椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 抛物线C2: x2 + by = b2. (1) 若C2 经过C1 的两个焦点, 求C1 的离心率; (2) 设A (0, b), Q ( 3 √ 3, 5 4b ) , 又M、N 为C1 与C2 不在y 轴上的两个 交点, 若△AMN 的垂心为B ( 0, 3 4b ) , 且△QMN 的重心在C2 上, 求椭 圆C1 和抛物线C2 的方程. x y O A B Q M N • •
6. 6. 证明以下命题: (1) 对任一正整数a, 都存在正整数b, c (b < c), 使得a2, b2, c2 成等差数 列; (2) 存在无穷多个互不相似的三角形△n, 其边长an, bn, cn 为正整数且a2 n, b2 n, c2 n 成等差数列. 608

原卷配图（含真实几何/应用题图示）