2010年浙江（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年浙江（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设P = {x | x < 1}, Q = {x | x2 < 4}, 则P ∩Q = ( ) 5分
   A. {x | −1 < x < 2} B. {x | −3 < x < −1} C. {x | 1 < x < 4} D. {x | −2 < x < 1}
2. 2. 已知函数f (x) = log2 (x + 1), 若f (α) = 1, 则α = ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 3. 设i 为虚数单位, 则5 −i 1 + i = ( ) 5分
   A. −2 −3i B. −2 + 3i C. 2 −3i D. 2 + 3i
4. 4. 某程序框图如图所示, 若输出的S = 57, 则判断框内为 ( ) 开始 S = 1, k = 1 k = k + 1 S = 2S + k 输出S 结束 是 否 5分
   A. k > 4? B. k > 5? C. k > 6? D. k > 7?
5. 5. 设Sn 为等比数列{an} 的前n 项和, 8a2 + a5 = 0, 则S5 S2 = ( ) 5分
   A. −11 B. −8 C. 5 D. 11
6. 6. 设0 < x < π 2 , 则“xsin2x < 1”是“x sin x < 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 若实数x, y 满足不等式组        x + 3y −3 ⩾0, 2x −y −3 ⩽0, x −y + 1 ⩾0, 则x + y 的最大值为 ( ) 7 15 5分
   A. 9 B. 15 C. 1 D. 7
8. 8. 若某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此几何体的体积是 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 2 2 2 4 2 2 4 2 3 cm3 3 cm3 3 cm3 3 cm3 5分
   A. 352 B. 320 C. 224 D. 160
9. 9. 已知x0 是函数f (x) = 2x + 1 1 −x 的一个零点. 若x1 ∈(1, x0), x2 ∈(x0, +∞), 则 ( ) 5分
   A. f (x1) < 0, f (x2) < 0 B. f (x1) < 0, f (x2) > 0 C. f (x1) > 0, f (x2) < 0 D. f (x1) > 0, f (x2) > 0
10. 10. 设O 为坐标原点, F1, F2 是双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的焦点. 若 在双曲线上存在点P, 满足∠F1PF2 = 60◦, |OP| = √ 7a, 则该双曲线的渐 近线方程为 ( ) √ 3y = 0 (B) √ 3x ± y = 0 (C) x ± √ 2y = 0 (D) √ 2x ± y = 0 5分
    A. x ±

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 在如图所示的茎叶图中, 甲、乙两组数据的中位数分别是 , . 甲 乙 8 2 9 9 1 3 5 5 2 5 4 8 2 6 7 8 5 5 3 5 6 6 7 5分
2. 2. 函数f (x) = sin2 ( 2x −π 4 ) 的最小正周期是 . 5分
3. 3. 已知平面向量α, β 满足|α| = 1, |β| = 2, α ⊥(α −2β), 则|2α + β| 的 值是 . 5分
4. 4. 在如下数表中, 已知每行、每列中的数都成等差数列. 第1 列 第2 列 第3 列 · · · 第1 行 1 2 3 · · · 第2 行 2 4 6 · · · 第3 行 3 6 9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 那么, 位于表中的第n 行第n + 1 列的数是 . 5分
5. 5. 若正实数x, y 满足2x + y + 6 = xy, 则xy 的最小值是 . 5分
6. 6. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860 万元, 预测六月份销售额为500 万元, 七月份销售额比六月份递增x%, 八月份销售额比七月份递增x%, 九、〸月份销售总额与七、八月份销售总额相等. 若一月至〸月份销售总 额至少达7000 万元, 则x 的最小值是 . 5分
7. 7. 在平行四边形ABCD 中, O 是AC 与BD 的交点, P, Q, M, N 分别是线 段OA, OB, OC, OD 的中点. 在A, P, M, C 中任取一点记为E, 在B, Q, N, D 中任取一点记为F. 设G 为满足向量# » OG = # » OE + # » OF 的点, 则 在上述的点G 组成的集合中的点, 落在平行四边形ABCD 外(不含边界) 的概率为 . D M P A B N C Q O • • • • 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 设S 为△ABC 的面 积, 满足S = √ 3 4 (a2 + b2 −c2) (1) 求角C 的大小; (2) 求sin A + sin B 的最大值. 641
2. 2. 设a1, d 为实数, 首项为a1, 公差为d 的等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 满足S5S6 + 15 = 0. (1) 若S5 = 5, 求S6 及a1; (2) 求d 的取值范围.
3. 3. 如图, 在平行四边形ABCD 中, AB = 2BC, ∠ABC = 120◦. E 为线段 AB 的中点, 将△ADE 沿直线DE 翻折成△A′DE, 使平面A′DE ⊥平 面BCD, F 为线段A′C 的中点. (1) 求证: BF 平面A′DE; (2) 设M 为线段DE 的中点, 求直线FM 与平面A′DE 所成角的余弦值. A M F D C B E A′
4. 4. 已知函数f(x) = (x −a)2(x −b) (a, b ∈R, a < b). (1) 当a = 1, b = 2 时, 求曲线y = f(x) 在点(2, f(2)) 处的切线方程; (2) 设x1, x2 是f(x) 的两个极值点, x3 是f(x) 的一个零点, 且x3̸ = x1, x3̸ = x2. 证明: 存在实数x4, 使得x1, x2, x3, x4 按某种顺序排列后成等差 数列, 并求x4.
5. 5. 已知m 是非零实数, 抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 在直线l: x −my −m2 2 = 0 上. (1) 若m = 2, 求抛物线C 的方程; (2) 设直线l 与抛物线C 交于A, B 两点, 过A, B 分别作抛物线C 的准 线的垂线, 垂足为A1, B1, △AA1F, △BB1F 的重心分别为G, H. 求证: 对任意非零实数m, 抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径 的圆外. x y O F A B A1 B1 G H 642

原卷配图（含真实几何/应用题图示）