2010年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设P = {x | x < 4}, Q = {x | x2 < 4}, 则 ( ) 5分
   A. P ⊆Q B. Q ⊆P C. P ⊆∁RQ D. Q ⊆∁RP
2. 2. 某程序框图如图所示, 若输出的S = 57, 则判断框内为 ( ) 开始 S = 1, k = 1 k = k + 1 S = 2S + k 输出S 结束 是 否 5分
   A. k > 4? B. k > 5? C. k > 6? D. k > 7?
3. 3. 设Sn 为等比数列{an} 的前n 项和, 8a2 + a5 = 0, 则S5 S2 = ( ) 5分
   A. 11 B. 5 C. −8 D. −11
4. 4. 设0 < x < π 2 , 则“xsin2x < 1”是“x sin x < 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 对任意复数z = x+yi (x, y ∈R), i 为虚数单位, 则下列结论正确的是( ) 5分
   A. |z −z| = 2y B. z2 = x2 + y2 C. |z −z| ⩾2x D. |z| ⩽|x| + |y|
6. 6. 设l, m 是两条不同的直线, α 是一个平面, 则下列命题正确的是 ( ) m, 则m ⊥α α, m ⊂α, 则l m α, m α, 则l m 5分
   A. 若l ⊥m, m ⊂α, 则l ⊥α B. 若l ⊥α, l C. 若l D. 若l
7. 7. 若实数x, y 满足不等式组        x + 3y −3 ⩾0, 2x −y −3 ⩽0, x −my + 1 ⩾0, 且x + y 的最大值为9, 则 实数m = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
8. 8. 设F1、F2 分别为双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点. 若在 双曲线右支上存在点P, 满足|PF2| = |F1F2|, 且F2 到直线PF1 的距离 等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为 ( ) 5分
   A. 3x ± 4y = 0 B. 3x ± 5y = 0 C. 4x ± 3y = 0 D. 5x ± 4y = 0
9. 9. 设函数f (x) = 4 sin (2x + 1) −x, 则在下列区间中函数f (x) 不存在零点 的是 ( ) 5分
   A. [−4, −2] B. [−2, 0] C. [0, 2] D. [2, 4]
10. 10. 设函数的集合P = { 2, 0, 1 2, 1; b = −1, 0, 1 } , 平面上点的集合Q = { (x, y) | x = −1 2, 0, 1 2, 1; y = −1, 0, 1 } , 则在同一直 角坐标系中, P 中函数f (x) 的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数 是 ( ) 5分
    F. (x) = log2 (x + a) + b | a = −1 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 函数f (x) = sin ( 2x −π 4 ) −2 √ 2sin2x 的最小正周期是 . 5分
2. 2. 若某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则此几何体的体积 是 cm3. 俯视图 正视图 侧视图 2 2 3 4 2 2 4 2 5分
3. 3. 设抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 点A (0, 2). 若线段FA 的中点B 在抛物线上, 则B 到该抛物线准线的距离为 . 5分
4. 4. 设n ⩾2, n ∈N, ( 2x + 1 2 )n − ( 3x + 1 3 )n = a0 +a1x+a2x2 +· · ·+anxn, 将|ak| (0 ⩽k ⩽n) 的最小值记为Tn, 则T2 = 0, T3 = 1 23 −1 33 , T4 = 0, T5 = 1 25 −1 35 , · · · , Tn, · · · , 其中Tn = . 5分
5. 5. 设a1, d 为实数, 首项为a1, 公差为d 的等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 满足S5S6 + 15 = 0, 则d 的取值范围是 . 5分
6. 6. 已知平面向量α, β (α̸ = 0, α̸ = β) 满足|β| = 1, 且α 与β −α 的夹角 为120◦, 则|α| 的取值范围是 . 5分
7. 7. 有4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活 量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试, 每位同学上、下午各测试一个项目, 且 不重复, 若上午不测“握力”项目, 下午不测“台阶”, 其余项目上、下午都各测 试一人, 则不同的安排方式共有种 . (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 已知cos 2C = −1 4. (1) 求sin C 的值; (2) 当a = 2, 2 sin A = sin C 时, 求b 及c 的长.
2. 2. 如图, 一个小球从M 处投入, 通过管道自上而下落到A 或B 或C. 已知 小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球 方式进行促销活动, 若投入的小球落到A、B、C, 则分别设为1、2、3 等 奖. (1) 已知获得1, 2, 3 等奖的折扣率分别为50%、70%、90%. 记随机变量ξ 为获得k (k = 1, 2, 3) 等奖的折扣率, 求随机变量ξ 的分布列及期望Eξ; (2) 若有3 人次(投入1 球为1 人次) 参加促销活动, 记随机变量η 为获得 1 等奖或2 等奖的人次, 求P (η = 2). M A B C • 639
3. 3. 如图, 在矩形ABCD 中, 点E, F 分别在线段AB、AD 上, AE = EB = AF = 2 3FD = 4. 沿直线EF 将△AEF 翻折成△A′EF, 使平面A′EF ⊥ 平面BEF. (1) 求二面角A′ −FD −C 的余弦值; (2) 点M, N 分别在线段FD、BC 上, 若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折, 使C 与A′ 重合, 求线段FM 的长. D M F A B N C E A′
4. 4. 已知m > 1, 直线l: x −my −m2 2 = 0, 椭圆C: x2 m2 + y2 = 1, F1, F2 分 别为椭圆C 的左、右焦点. (1) 当直线l 过右焦点F2 时, 求直线l 的方程; (2) 设直线l 与椭圆C 交于A, B 两点, △AF1F2, △BF1F2 的重心分别为 G, H. 若原点O 在以线段GH 为直径的圆内, 求实数m 的取值范围. x y O A B
5. 5. 已知a 是给定的实常数, 设函数f (x) = (x −a)2 (x + b) ex, b ∈R, x = a 是f (x) 的一个极大值点. (1) 求b 的取值范围; (2) 设x1, x2, x3 是f (x) 的3 个极值点, 问是否存在实数b, 可找 到x4 ∈R, 使得x1, x2, x3, x4 的某种排列xi1, xi2, xi3, xi4 (其中 {i1, i2, i3, i4} = {1, 2, 3, 4}) 依次成等差数列? 若存在, 求所有的b 及相应的x4; 若不存在, 说明理由. 640

原卷配图（含真实几何/应用题图示）