2010年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年湖北（文科）），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 如图, 在四面体ABOC 中, OC ⊥OA, OC ⊥OB, ∠AOB = 120◦, 且 OA = OB = OC = 1. (1) 设P 为AC 的中点, Q 在AB 上且AB = 3AQ, 证明: PQ ⊥OA; (2) 求二面角O −AC −B 的平面角的余弦值. A B C P O Q
2. 2. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位: m2), 其中有部分旧 住房需要拆除. 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10% 建设 新住房, 同时也拆除面积为b (单位: m2) 的旧住房. (1) 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (2) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%, 则每年拆除的旧住房面积b 是多少? (计算时取1.15 = 1.6)
3. 3. 已知一条曲线C 在y 轴的右边, C 上每一点到点F (1, 0) 的距离减去它到 y 轴距离的差都是1. (1) 求曲线C 的方程; (2) 是否存在正数m, 对于过点M (m, 0) 且与曲线C 有两个交点A、B 的任一直线, 都有# » FA · # » FB < 0? 若存在, 求出m 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
4. 4. 设函数f (x) = 1 3x3 −a 2x2 + bx + c, 其中a > 0, 曲线y = f (x) 在点 P (0, f (0)) 处的切线方程为y = 1. (1) 确定b, c 的值; (2) 设曲线y = f (x) 在点(x1, f (x1)) 及(x2, f (x2)) 处的切线都过点 (0, 2). 证明: 当x1̸ = x2 时, f ′ (x1)̸ = f ′ (x2); (3) 若过点(0, 2) 可作曲线y = f (x) 的三条不同切线, 求a 的取值范围. 600

原卷配图（含真实几何/应用题图示）