2010年湖北（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年湖北（理科）），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 如图, 在四面体ABOC 中, OC ⊥OA, OC ⊥OB, ∠AOB = 120◦, 且 OA = OB = OC = 1. (1) 设P 为AC 的中点, 证明: 在AB 上存在一点Q, 使PQ ⊥OA, 并计 算AB AQ 的值; (2) 求二面角O −AC −B 的平面角的余弦值. A B C P O •
2. 2. 已知一条曲线C 在y 轴的右边, C 上每一点到点F (1, 0) 的距离减去它到 y 轴距离的差都是1. (1) 求曲线C 的方程; (2) 是否存在正数m, 对于过点M (m, 0) 且与曲线C 有两个交点A、B 的任一直线, 都有# » FA · # » FB < 0? 若存在, 求出m 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
3. 3. 已知数列{an} 满足: a1 = 1 2, 3 (1 + an+1) 1 −an = 2 (1 + an) 1 −an+1 , anan+1 < 0 (n ⩾1); 数列{bn} 满足: bn = a2 n+1 −a2 n (n ⩾1). (1) 求数列{an}, {bn} 的通项公式; (2) 证明: 数列{bn} 中的任意三项不可能成等差数列.
4. 4. 已知函数f (x) = ax + b x + c (a > 0) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程 为y = x −1. (1) 用a 表示出b, c; (2) 若f (x) ⩾ln x 在[1, +∞) 上恒成立, 求a 的取值范围. (3) 证明: 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n > ln (n + 1) + n 2 (n + 1) (n ⩾1). 598

原卷配图（含真实几何/应用题图示）