2010年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 复数 2 1 −i 等于 ( ) 5分
   A. 1 + i B. 1 −i C. −1 + i D. −1 −i
2. 2. 下列命题中的假命题是 ( ) 5分
   A. ∃x ∈R, lg x = 0 B. ∃x ∈R, tan x = 1 C. ∀x ∈R, x3 > 0 D. ∀x ∈R, 2x > 0
3. 3. 某商品销售量y (件) 与销售价格x (元/件) 负相关, 则其回归方程可能 是 ( ) 5分
   A. ˆy = −10x + 200 B. ˆy = 10x + 200 C. ˆy = −10x −200 D. ˆy = 10x −200
4. 4. 极坐标ρ = cos θ 和参数方程 { x = −1 −t, y = 2 + t, (t 为参数) 所表示的图形分别 是 ( ) 5分
   A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线
5. 5. 设抛物线y2 = 8x 上一点P 到y 轴的距离是4, 则点P 到该抛物线焦点 的距离是 ( ) 5分
   A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
6. 6. 若非零向量a, b 满足|a| = |b|, (2a + b) · b = 0, 则a 与b 的夹角为( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 120◦ D. 150◦
7. 7. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边长分别为a, b, c, 若∠C = 120◦, √ 2a, 则 ( ) 5分
   C. = A. a > b B. a < b C. a = b D. a 与b 的大小关系不能确定
8. 8. 函数y = ax2 + bx 与y = log| b 的图象可能是 ( ) (A) x y 1 −1O (B) x y 1 −1 O (C) x y 1 −1O (D) x y 1 −1 O 5分
   A. |x (ab̸ = 0, |a|̸ = |b|) 在同一直角坐标系中

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {2, m, 4}, A ∩B = {2, 3}, 则m = . 5分
2. 2. 已知一种材料的最佳加入量在100 g 到200 g 之间. 若用0.618 法安排实 验, 则第一次试点的加入量可以是 g. 5分
3. 3. 在区间[−1, 2] 上随机取一个数x, 则x ∈[0, 1] 的概率为 . 5分
4. 4. 下图是求实数x 的绝对值的算法程序框图, 则判断框①中可填 . 开始 输入x ① 输出x 输出−x 结束 是 否 5分
5. 5. 图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3 的几何体的三视图, 则 cm. 俯视图 正视图 侧视图 h 6 5 5分
   H. =
6. 6. 若不同两点P, Q 的坐标分别为(a, b), (3 −b, 3 −a), 则线段PQ 的垂直 平分线l 的斜率为, 圆(x −2)2 + (y −3)2 = 1 关于直线l 对称的圆的方程 为 . 5分
7. 7. 若规定E = {a1, a2, · · · , a10} 的子集{ai1, ai2, · · · , ain} 为E 的第k 个子集, 其中k = 2i1−1 + 2i2−1 + 2i3−1 + · · · + 2in−1, 则 (1) {a1, a3} 是E 的第 个子集; (2) E 的第211 个子集是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin 2x −2sin2x. (1) 求函数f (x) 的最小正周期; (2) 求函数f (x) 的最大值及f (x) 取最大值时x 的集合.
2. 2. 为了对某课题进行研究, 用分层抽样方法从三所高校A, B, C 的相关人员 中, 抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位: 人): 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y (1) 求x, y; (2) 若从高校B, C 抽取的人中选2 人作专题发言, 求这二人都来自高校C 的概率. 603
3. 3. 如图所示, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = AD = 1, AA1 = 2, M 是棱CC1 的中点. (1) 求异面直线A1M 和C1D1 所成的角的正切值; (2) 证明: 平面ABM ⊥平面A1B1M. B C D A B1 M C1 D1 A1
4. 4. 为了考察冰川的融化状况, 一支科考队在某冰川上相距8 km 的A, B 两点 各建一个考察基地. 视冰川面为平面形, 以过A, B 两点的直线为x 轴, 线 段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(下图). 考察范围到A, (1) 求考察区域边界曲线的方程; (2) 如图所示, 设线段P1P2 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界), 当 冰川融化时, 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动, 第一年移动 0.2 km, 以后每年移动的距离为前一年的2 倍. 问: 经过多长时间, 点A 恰 好在冰川边界线上? x y O P1(−5, 9) P2(−14, −3) 冰 A(−4, 0) 川 域 区 B(4, 0) 已 化 融
5. 5. 给出下面的数表序列: 表1 表2 表3 · · · 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 其中表n (n = 1 , 2, 3 · · · ) 有n 行, 第1 行的n 个数是1, 3, 5, · · · , 2n−1, 从第2 行起, 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. (1) 写出表4, 验证表4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数 列, 并将结论推广到表n (n ⩾3) (不要求证明); (2) 每个数列中最后一行都只有一个数, 它们构成数列1, 4, 12, · · · , 记此 数列为{bn}, 求和: b3 b1b2 + b4 b2b3 + · · · bn+2 bnbn+1 (n ∈N∗).
6. 6. 已知函数f (x) = a x + x + (a −1) ln x + 15a, 其中a < 0, 且a̸ = −1. (1) 讨论函数f (x) 的单调性; (2) 设函数g (x) = { ( −2x3 + 3ax2 + 6ax −4a2 −6a ) ex, x ⩽1, x > 1, 然数的底数). 是否存在a, 使g (x) 在[a, −a] 上为减函数? 若存在, 求a 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 604

原卷配图（含真实几何/应用题图示）