2010年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年湖南（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合M = {1, 2, 3}, N = {2, 3, 4}, 则 ( ) 5分
   A. M ⊆N B. N ⊆M C. M ∩N = {2, 3} D. M ∪N = {1, 4}
2. 2. 下列命题中是假命题的是 ( ) 5分
   A. ∀x ∈R, 2x−1 > 0 B. ∀x ∈N∗, (x −1)2 > 0 C. ∃x ∈R, lg x < 1 D. ∃x ∈R, tan x = 2
3. 3. 极坐标方程ρ = cos θ 和参数方程 { x = −1 −t, y = 2 + 3t, (t 为参数) 所表示的图形 分别是 ( ) 5分
   A. 圆、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 直线、直线
4. 4. 在Rt△ABC 中, ∠C = 90◦, AC = 4, 则# » AB · # » AC 等于 ( ) 5分
   A. −16 B. −8 C. 8 D. 16
5. 5. ∫4 2 1 xdx 等于 ( ) 5分
   A. −2 ln 2 B. 2 ln 2 C. −ln 2 D. ln 2
6. 6. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边长分别为a, b, c, 若∠C = 120◦, √ 2a, 则 ( ) 5分
   C. = A. a > b B. a < b C. a = b D. a 与b 的大小关系不能确定
7. 7. 在某种信息传输过程中, 用4 个数字的一个排列(数字允许重复) 表示一个 信息, 不同排列表示不同信息, 若所用数字只有0 和1, 则与信息0110 至 多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( ) 5分
   A. 10 B. 11 C. 12 D. 15
8. 8. 用min{a, b} 表示a, b 两数中的最小值. 若函数f (x) = min{|x|, |x + t|} 的图象关于直线x = −1 2 对称, 则t 的值为 ( ) 5分
   A. −2 B. 2 C. −1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 已知一种材料的最佳加入量在110 g 到210 g 之间. 若用0.618 法安排实 验, 则第一次试点的加入量可以是 g. 5分
2. 2. 如图所示, 过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A, B 两点. 已知 PA = 2, 点P 到⊙O 的切线长PT = 4, 则弦AB 的长为 . A B O T P • 5分
3. 3. 在区间[−1, 2] 上随机取一个数x, 则|x| ⩽1 的概率为 . 5分
4. 4. 如图是求12 + 22 + 32 + · · · + 1002 的值的程序框图, 则正整数n = . 开始 i = 1, s = 0 i ⩽n? s = s + i2 i = i + 1 输出s 结束 否 是 5分
5. 5. 图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3 的几何体的三视图, 则 cm. 俯视图 正视图 侧视图 h 6 5 5分
   H. =
6. 6. 过抛物线x2 = 2py (p > 0) 的焦点作斜率为1 的直线与该抛物线交于A, 12 √ 2, 则p = . 5分
   B. 两点, A, B 在x 轴上的正射影分别为D, C. 若梯形ABCD 的面积为
7. 7. 若数列{an} 满足: 对任意的n ∈N∗, 只有有限个正整数m 使得am < n 成立, 记这样的m 的个数为(an)∗, 则得到一个新数列{(an)∗}. 例如, 若数 列{an} 是1, 2, 3, · · · , n, · · · , 则数列{(an)∗} 是0, 1, 2, · · · , n −1, · · · . 已知对任意的n ∈N∗, an = n2, 则(a5)∗= , ((an)∗)∗= . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = √ 3 sin 2x −2sin2x. (1) 求函数f (x) 的最大值; (2) 求函数f (x) 的零点的集合.
2. 2. 如图, 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位: 吨) 的频率 分布直方图. 频率 组距 0 月均用水量/吨 0.37 0.39 0.1 0.02 x 1 2 3 4 5 (1) 求直方图中x 的值; (2) 若将频率视为概率, 从这个城市随机抽取3 位居民(看作有放回的抽 样), 求月均用水量在3 至4 吨的居民数X 的分布列和数学期望. 601
3. 3. 如图所示, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E 是棱DD1 的中点. (1) 求直线BE 和平面ABB1A1 所成的角的正弦值; (2) 在棱C1D1 上是否存在一点F, 使B1F 平面A1BE? 证明你的结论. B C D A B1 E C1 D1 A1
4. 4. 为了考察冰川的融化状况, 一支科考队在某冰川上相距8 km 的A, B 两 点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形, 以过A, B 两点的直线为x 轴, 线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(如图). 在直线x = 2 的右侧, 考察范围为到点B 的距离不超过6 √ 5 5 km 的区域; 在直线x = 2 的左侧, 考察范围为到A, B 两点的距离之和不超过4 √ 5 km 的区域. (1) 求考察区域边界曲线的方程; (2) 如图所示, 设线段P1P2, P2P3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界), 当冰川融化时, 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动, 第一年移 动0.2 km, 以后每年移动的距离为前一年的2 倍. 求冰川边界线移动到考 察区域所需的最短时间. x y O P2(−8 √ 3 3 , 6) P1(−5 √ 3, −1) P3(8, 6) 冰 A(−4, 0) 川 域 区 B(4, 0) 已 化 融 x = 2 • • • •
5. 5. 已知函数f (x) = x2 + bx + c (b, c ∈R), 对任意的x ∈R, 恒有 (1) 证明: 当x ⩾0 时, f (x) ⩽(x + c)2; (2) 若对满足题设条件的任意b, c, 不等式f (c) −f (b) ⩽M (c2 −b2) 恒成 立, 求M 的最小值.
6. 6. 数列{an} (n ∈N∗) 中, a1 = a, an+1 是函数fn (x) = 1 3x3 − 1 2 (3an + n2) x2 + 3n2anx 的极小值点. (1) 当a = 0 时, 求通项an; (2) 是否存在a, 使数列{an} 是等比数列? 若存在, 求a 的取值范围; 若不 存在, 请说明理由. 602

原卷配图（含真实几何/应用题图示）