2010年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年福建（文科）），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 已知抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 过点A (1, −2). (1) 求抛物线C 的方程, 并求其准线方程; (2) 是否存在平行于OA (O 为坐标原点) 的直线l, 使得直线l 与抛物线 √ 5 5 ? 若存在, 求出直线l 的方 程; 若不存在, 说明理由.
2. 2. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, E, H 分别是棱A1B1, D1C1 上 的点(点E 与B1 不重合), 且EH A1D1. 过EH 的平面与棱BB1, CC1 相交, 交点分别为F, G. (1) 证明: AD 平面EFGH; (2) 设AB = 2AA1 = 2a. 在长方体ABCD −A1B1C1D1 内随机选取一 点. 记该点取自几何体A1ABFE −D1DCGH 内的概率为p, 当点E, F 分别在棱A1B1, B1B 上运动且满足EF = a 时, 求p 的最小值. A B C D A1 E F G H B1 C1 D1
3. 3. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇 出发时, 轮船位于港口O 北偏西30◦且与该港口相距20 海里的A 处, 并 以30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向 以v 海里/小时的航行速度匀速行驶, 经过t 小时与轮船相遇. (1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小, 则小艇航行速度的大小应为多少? (2) 为保证小艇在30 分钟内(含30 分钟) 能与轮船相遇, 试确定小艇航行 速度的最小值; (3) 是否存在v, 使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶, 总能有两种不 同的航行方向与轮船相遇? 若存在, 试确定v 的取值范围; 若不存在, 请说 明理由.
4. 4. 已知函数f (x) = 1 3x3 −x2 + ax + b 的图象在点P (0, f (0)) 处的切线方程 为y = 3x −2. (1) 求实数a, b 的值; (2) 设g (x) = f (x) + m x −1 是[2, +∞) 上的增函数. ①求实数m 的最大值; ②当m 取最大值时, 是否存在点Q, 使得过点Q 的直线若能与曲线 y = g (x) 围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等? 若存在, 求出点Q 的坐标; 若不存在, 说明理由. 592

原卷配图（含真实几何/应用题图示）