本卷为官方高考数学真题（2010年福建（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 计算sin 43◦cos 13◦−cos 43◦sin 13◦的结果等于
(
)
2
(B)
√
3
3
(C)
√
2
2
(D)
√
3
2 5分
A. 1
-
2. 以抛物线y2 = 4x 的焦点为圆心, 且过坐标原点的圆的方程为
(
) 5分
A. x2 + y2 + 2x = 0
B. x2 + y2 + x = 0
C. x2 + y2 −x = 0
D. x2 + y2 −2x = 0
-
3. 设等差数列{an} 前n 项和为Sn. 若a1 = −11, a4 + a6 = −6, 则当Sn 取
最小值时, n 等于
(
) 5分
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
-
4. 函数f (x) =
{
x2 + 2x −3,
x ⩽0,
−2 + ln x,
x > 0,
的零点个数为
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-
5. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的i 值等于
(
)
开始
s = 0
i = 1
s = s + a
i = i + 1
s > 11?
输出i
结束
是
否 5分
A. = i × 2i
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
-
6. 如图, 若Ω是长方体ABCD −A1B1C1D1 被平面EFGH 截去几何体
EFGHB1C1 后得到的几何体, 其中E 为线段A1B1 上异于B1 的点, F 为
线段BB1 上异于B1 的点, 且EH
A1D1, 则下列结论中不正确的是(
)
A
B
C
D
A1
E
F
G
H
B1
C1
D1
FG 5分
A. EH
B. 四边形EFGH 是矩形
C. Ω是棱柱
D. Ω是棱台
-
7. 若点O 和点F (−2, 0) 分别为双曲线x2
a2 −y2 = 1 (a > 0) 的中心和左焦
点, 点P 为双曲线右支上的任意一点, 则# »
OP · # »
FP 的取值范围为
(
)
(A)
[
3 −2
√
3, +∞
)
(B)
[
3 + 2
√
3, +∞
)
(C)
[
−7
4, +∞
)
(D)
[7
4, +∞
) 5分
-
8. 设不等式组
x ⩾1,
x −2y + 3 ⩾0,
y ⩾x
所表示的平面区域是Ω1, 平面区域Ω2 与
Ω1 关于直线3x −4y −9 = 0 对称. 对于Ω1 中的任意点A 与Ω2 中的任
意点B, |AB| 的最小值等于
(
)
5
5 5分
A. 28
B. 4
C. 12
D. 2
-
9. 对于复数a, b, c, d, 若集合S = {a, b, c, d} 具有性质“对任意x, y ∈S,
必有xy ∈S”, 则当
b2 = 1,
c2 = b
时, b + c + d 等于
(
) 5分
A. = 1,
A. 1
B. −1
C. 0
D. i
-
10. 对于具有相同定义域D 的函数f (x) 和g (x), 若存在函数h (x) = kx + b
(k, b 为常数), 对任给的正数m, 存在相应的x0 ∈D, 使得当x ∈D 且
x > x0 时, 总有
{
0 < f (x) −h (x) < m,
0 < h (x) −g (x) < m,
则称直线l: y = kx + b 为曲线
y = f (x) 与y = g (x) 的“分渐近线”. 给出定义域均为D = {x | x > 1} 的
四组函数如下:
①f (x) = x2, g (x) = √x;
②f (x) = 10−x + 2, g (x) =2x −3
x
;
③f (x) = x2 + 1
x
, g (x) =x ln x + 1
ln x
;
④f (x) = 2x2
x + 1, g (x) = 2 (x −1 −e−x).
其中, 曲线y = f (x) 与y = g (x) 存在“分渐近线”的是
(
) 5分
A. ①④
B. ②③
C. ②④
D. ③④
-
1. 在等比数列{an} 中, 若公比q = 4, 且前3 项之和等于21, 则该数列的通
项公式为an =
. 5分
-
2. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,
则其表面积等
于
.
1
1
1 5分
-
3. 某次知识竞赛规则如下: 在主办方预设的5 个问题中, 选手若能连续正确
回答出两个问题, 即停止答题, 晋级下一轮. 假设某选手正确回答每个问题
的概率都是0.8, 且每个问题的回答结果相互独立, 则该选手恰好回答了4
个问题就晋级下一轮的概率等于
. 5分
-
4. 已知函数f (x) = 3 sin
(
ωx −π
6
)
(ω > 0) 和g (x) = 2 cos (2x + φ) + 1 的
图象的对称轴完全相同. 若x ∈
[
0, π
2
]
, 则f (x) 的取值范围是
. 5分
-
5. 已知定义域为(0, +∞) 的函数f (x) 满足, (1) 对任意x ∈(0, +∞), 恒有
①对任意m ∈Z, 有f (2m) = 0;
②函数f (x) 的值域为[0, +∞);
③存在n ∈Z, 使得f (2n + 1) = 9;
④“函数f (x) 在区间(a, b) 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z, 使得
(a, b) ⊆
(
2k, 2k+1)
”.
其中所有正确结论的序号是
. 5分
F. (2x) = 2f (x) 成立; (2) 当x ∈(1, 2] 时, f (x) = 2 −x, 给出结论如下:
-
1. 设S 是不等式x2 −x −6 ⩽0 的解集, 整数m, n ∈S.
(1) 记使得“m + n = 0 成立的有序数组(m, n)”为事件A, 试列举A 包含的
基本事件;
(2) 设ξ = m2, 求ξ 的分布列及其数学期望Eξ.
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-
2. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2, 3), 且点F (2, 0) 为其右焦
点.
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 是否存在平行于OA 的直线l, 使得直线l 与椭圆C 有公共点, 且直线
OA 与l 的距离等于4? 若存在, 求出直线l 的方程; 若不存在, 请说明理由.
-
3. 如图, 圆柱OO1 内有一个三棱柱ABC −A1B1C1, 三棱柱的底面为圆柱底
面的内接三角形, 且AB 是圆O 直径.
(1) 证明: 平面A1ACC1 ⊥平面B1BCC1;
(2) 设AB = AA1, 在圆柱OO1 内随机选取一点, 记该点取自于三棱柱
ABC −A1B1C1 内的概率为p.
①当点C 在圆周上运动时, 求p 的最大值;
②记平面A1ACC1 与平面B1OC 所成的角为θ (0◦< θ ⩽90◦), 当p
取最大值时, 求cos θ 的值.
A
B
A1
B1
O
O1
C
C1
-
4. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇
出发时, 轮船位于港口O 北偏西30◦且与该港口相距20 海里的A 处, 并
以30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向
以v 海里/小时的航行速度匀速行驶, 经过t 小时与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小, 则小艇航行速度的大小应为多少?
(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/小时, 试设计航行方案(即
确定航行方向与航行速度的大小), 使得小艇能以最短时间与轮船相遇, 并
说明理由.
-
5. (1) 已知函数f (x) = x3 −x, 其图象记为曲线C.
①求函数f (x) 的单调区间;
②证明: 若对于任意非零实数x1, 曲线C 与其在点P1 (x1, f (x1)) 处
的切线交于另一点P2 (x2, f (x2)), 曲线C 与其在点P2 (x2, f (x2)) 处的切
线交于另一点P3 (x3, f (x3)), 线段P1P2, P2P3 与曲线C 所围成封闭图形
的面积分别记为S1, S2, 则S1
S2
为定值;
(2) 对于一般的三次函数g (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a̸ = 0), 请给出类似
于(1) ②的正确命题, 并予以证明.
-
6. 三选二.
【A】已知矩阵M =
(
1
a
b
1
)
, N =
(
c
2
0
d
)
, 且MN =
(
2
0
−2
0
)
.
(1) 求实数a, b, c, d 的值;
(2) 求直线y = 3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程.
【B】在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为
x = 3 −
√
2
2 t,
y =
√
5 −
√
2
2 t,
(t 为参
数). 在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点O 为
极点, 以x 轴正半轴为极轴) 中, 圆C 的方程为ρ = 2
√
5 sin θ.
(1) 求圆C 的直角坐标方程;
(2) 设圆C 与直线l 交于点A、B, 若点P 的坐标为
(
3,
√
5
)
, 求|PA|+|PB|.
【C】已知函数f (x) = |x −a|.
(1) 若不等式f (x) ⩽3 的解集为{x | −1 ⩽x ⩽5}, 求实数a 的值;
(2) 在(1) 的条件下, 若f (x) + f (x + 5) ⩾m 对一切实数x 恒成立, 求实
数m 的取值范围.
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