2010年辽宁（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年辽宁（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合U = {1, 3, 5, 7, 9}, A = {1, 5, 7}, 则∁UA = ( ) 5分
   A. {1, 3} B. {3, 7, 9} C. {3, 5, 9} D. {3, 9}
2. 2. 设a, b 为实数, 若复数1 + 2i ( ) 2, b = 1 2 (B) a = 3, b = 1 2, b = 3 2 (D) a = 1, b = 3 5分
   A. + bi = 1 + i, 则 A. a = 3 C. a = 1
3. 3. 设Sn 为等比数列{an} 的前n 项和, 已知3S3 = a4 −2, 3S2 = a3 −2, 则 公比q = ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 4. 已知a > 0, 函数f (x) = ax2+bx+c. 若x0 满足关于x 的方程2ax+b = 0, 则下列选项的命题中为假命题的是 ( ) 5分
   A. ∃x ∈R, f (x) ⩽f (x0) B. ∃x ∈R, f (x) ⩾f (x0) C. ∀x ∈R, f (x) ⩽f (x0) D. ∀x ∈R, f (x) ⩾f (x0)
5. 5. 如果执行下图所示的程序框图, 输入n = 6, m = 4, 那么输出的p 等于( ) 开始 输入n, m k = 1, p = 1 p = p (n −m + k) k = k + 1 k < m 输出p 结束 否 是 5分
   A. 720 B. 360 C. 240 D. 120
6. 6. 设ω > 0, 函数y = sin ( ωx + π 3 ) + 2 的图象向右平移4π 3 个单位后与原 图象重合, 则ω 的最小值是 ( ) 3 3 2 5分
   A. 2 B. 4 C. 3 D. 3
7. 7. 设抛物线y2 = 8x 的焦点为F, 准线为l, P 为抛物线上一点, PA ⊥l, A 为垂足, 如果直线AF 的斜率为− √ 3, 那么|PF| = ( ) √ 3 √ 3 5分
   A. 4 B. 8 C. 8 D. 16
8. 8. 平面上O, A, B 三点不共线, 设# » OA = a, # » OB = b, 则△OAB 的面积等 于 ( ) (A) √ |a|2|b|2 −(a · b)2 (B) √ |a|2|b|2 + (a · b)2 2 √ |a|2|b|2 −(a · b)2 2 √ |a|2|b|2 + (a · b)2 5分
   C. 1 D. 1
9. 9. 设双曲线的一个焦点为F, 虚轴的一个端点为B, 如果直线FB 与该双曲 线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线的离心率为 ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 (C) √ 3 + 1 2 (D) √ 5 + 1 2 5分
10. 10. 设2a = 5b = m, 且1 b= 2, 则m = ( ) (A) √ 10 5分
    A. + 1 B. 10 C. 20 D. 100
11. 11. 已知S, A, B, C 是球O 表面上的点, SA ⊥平面ABC, AB ⊥BC, SA = AB = 1, BC = √ 2, 则球O 的表面积等于 ( ) 5分
    A. 4π B. 3π C. 2π D. π
12. 12. 已知点P 在曲线y = 4 ex + 1 上, α 为曲线在点P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是 ( ) (A) [ 0, π 4 ) (B) [π 4 , π 2 ) (C) (π 2 , 3π 4 ] (D) [3π 4 , π ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 三张卡片上分别写上字母E, E, B, 将三张卡片随机地排成一行, 恰好排成 英文单词BEE 的概率为 . 5分
2. 2. 设Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, 若S3 = 3, S6 = 24, 则a9 = . 5分
3. 3. 已知−1 < x + y < 4 且2 < x −y < 3, 则z = 2x −3y 的取值范围 是 . (答案用区间表示) 5分
4. 4. 如图, 网格纸的小正方形的边长是1, 在其上用粗线画出了某多面体的三视 图, 则这个多面体最长的一条棱的长为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边, 且2a sin A = (2b + c) sin B + (2c + b) sin C. (1) 求A 的大小; (2) 若sin B + sin C = 1, 试判断△ABC 的形状.
2. 2. 为了比较注射A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积, 选200 只家兔做 试验, 将这200 只家兔随机地分成两组, 每组100 只, 其中一组注射药物 A, 另一组注射药物B. 下表1 和表2 分别是注射药物A 和B 后的试验 结果. (疱疹面积单位: mm2) 表1: 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60, 65) [65, 70) [70, 75) [75, 80) 频数 30 40 20 10 表2: 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60, 65) [65, 70) [70, 75) [75, 80) [80, 85) 频数 10 25 20 30 15 (1) 完成下面频率分布直方图, 并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数 大小; 频率 组距 0 疱疹面积 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 60 65 70 75 80 85 图1: 注射药物A 频率 组距 0 疱疹面积 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 60 65 70 75 80 85 图2: 注射药物B (2) 完成下面2 × 2 列联表, 并回答能否有99.9% 的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”. 疱疹面积小于70 mm2 疱疹面积不小于70 mm2 合计 注射药物A 注射药物B 合计 n = 附: K2 = n(ad −bc)2 P (K2 ⩾k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 613
3. 3. 如图, 棱柱ABC −A1B1C1 的侧面BCC1B1 是菱形, B1C ⊥A1B. (1) 证明: 平面AB1C ⊥平面A1BC1; (2) 设D 是A1C1 上的点, 且A1B 平面B1CD, 求A1D : DC1 的值. B A D A1 C1 B1 C
4. 4. 设F1, F2 分别为椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, 过F2 的直线l 与椭圆C 相交于A, B 两点, 直线l 的倾斜角为60◦, F1 到直线l 的距离为2 √ 3. (1) 求椭圆C 的焦距; (2) 如果# » AF2 = 2# » F2B, 求椭圆C 的方程.
5. 5. 已知函数f (x) = (a + 1) ln x + ax2 + 1. (1) 讨论函数f (x) 的单调性; (2) 设a ⩽−2, 证明: 对任意x1, x2 ∈(0, +∞), |f (x1)−f (x2) | ⩾4|x1−x2|.
6. 6. 如图, △ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E. (1) 证明: △ABE ∽△ADC; (2) 若△ABC 的面积S = 1 2AD · AE, 求∠BAC 的大小. A B C D E
7. 7. 已知P 为半圆C: { x = cos θ, y = sin θ, (θ 为参数, 0 ⩽θ ⩽π) 上的点, 点A 的坐 标为(1, 0), O 为坐标原点, 点M 在射线OP 上, 线段OM 与C 的弧˜ AP 的长度均为π 3 . (1) 以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 求点M 的极坐标; (2) 求直线AM 的参数方程.
8. 8. 已知a, b, c 均为正数, 证明: a2 + b2 + c2 + (1 c )2 ⩾6 √ 3, 并确定 a, b, c 为何值时, 等号成立. 614

原卷配图（含真实几何/应用题图示）