本卷为官方高考数学真题（2010年辽宁（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知A, B 均为集合U = {1, 3, 5, 7, 9} 的子集, 且A ∩B = {3},
∁UB ∩A = {9}, 则A =
(
) 5分
A. {1, 3}
B. {3, 7, 9}
C. {3, 5, 9}
D. {3, 9}
-
2. 设a, b 为实数, 若复数1 + 2i
(
)
2, b = 1
2 (B) a = 3, b = 1
2, b = 3
2 (D) a = 1, b = 3 5分
A. + bi = 1 + i, 则
A. a = 3
C. a = 1
-
3. 两个实习生每人加工一个零件, 加工为一等品的概率分别为2
3 和3
4, 两个
零件是否加工为一等品相互独立, 则这两个零件中恰有一个一等品的概率
为
(
)
2
12
4
6 5分
A. 1
B. 5
C. 1
D. 1
-
4. 如果执行如图所示的程序框图, 输入正整数n, m, 满足n ⩾m, 那么输出
的p 等于
(
)
开始
输入n, m
k = 1, p = 1
p = p (n −m + k)
k = k + 1
k < m
输出p
结束
否
是
n
n
n
n 5分
A. Cm−1
B. Am−1
C. Cm
D. Am
-
5. 设ω > 0, 函数y = sin
(
ωx + π
3
)
+ 2 的图象向右平移4π
3 个单位后与原
图象重合, 则ω 的最小值是
(
)
3
3
2 5分
A. 2
B. 4
C. 3
D. 3
-
6. 设{an} 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前n 项和. 已知a2a4 = 1,
S3 = 7, 则S5 =
(
)
2
4
4
2 5分
A. 15
B. 31
C. 33
D. 17
-
7. 设抛物线y2 = 8x 的焦点为F, 准线为l, P 为抛物线上一点, PA ⊥l, A
为垂足, 如果直线AF 的斜率为−
√
3, 那么|PF| =
(
)
√
3
√
3 5分
A. 4
B. 8
C. 8
D. 16
-
8. 平面上O, A, B 三点不共线, 设# »
OA = a, # »
OB = b, 则△OAB 的面积等
于
(
)
(A)
√
|a|2|b|2 −(a · b)2
(B)
√
|a|2|b|2 + (a · b)2
2
√
|a|2|b|2 −(a · b)2
2
√
|a|2|b|2 + (a · b)2 5分
C. 1
D. 1
-
9. 设双曲线的一个焦点为F, 虚轴的一个端点为B, 如果直线FB 与该双曲
线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线的离心率为
(
)
(A)
√
2
(B)
√
3
(C)
√
3 + 1
2
(D)
√
5 + 1
2 5分
-
10. 已知点P 在曲线y =
4
ex + 1 上, α 为曲线在点P 处的切线的倾斜角, 则
α 的取值范围是
(
)
(A)
[
0, π
4
)
(B)
[π
4 , π
2
)
(C)
(π
2 , 3π
4
]
(D)
[3π
4 , π
) 5分
-
11. 已知a > 0, 则x0 满足关于x 的方程ax = b 的充要条件是
(
)
2ax2 −bx ⩾1
2ax2
0 −bx0
2ax2 −bx ⩽1
2ax2
0 −bx0
2ax2 −bx ⩾1
2ax2
0 −bx0
2ax2 −bx ⩽1
2ax2
0 −bx0 5分
A. ∃x ∈R, 1
B. ∃x ∈R, 1
C. ∀x ∈R, 1
D. ∀x ∈R, 1
-
12. 有四根长都为2 的直铁条, 若再选两根长都为a 的直铁条, 使这六根铁条
端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架, 则a 的取值范围是
(
)
(A)
(
0,
√
6 +
√
2
)
(B)
(
1, 2
√
2
)
(C)
(√
6 −
√
2,
√
6 +
√
2
)
(D)
(
0, 2
√
2
) 5分
-
1. 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边, 且2a sin A =
(2b + c) sin B + (2c + b) sin C.
(1) 求A 的大小;
(2) 求sin B + sin C 的最大值.
-
2. 为了比较注射A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积, 选200 只家兔做
试验, 将这200 只家兔随机地分成两组, 每组100 只, 其中一组注射药物
A, 另一组注射药物B.
(1) 甲、乙是200 只家兔中的2 只, 求甲、乙分在不同组的概率;
(2) 下表1 和表2 分别是注射药物A 和B 后的试验结果. (疱疹面积单位:
mm2)
表1: 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60, 65)
[65, 70)
[70, 75)
[75, 80)
频数
30
40
20
10
表2: 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60, 65)
[65, 70)
[70, 75)
[75, 80)
[80, 85)
频数
10
25
20
30
15
①完成下面频率分布直方图, 并比较注射两种药物后疱疹面积的中位
数大小;
频率
组距
0
疱疹面积
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
60 65 70 75 80 85
图1: 注射药物A
频率
组距
0
疱疹面积
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
60 65 70 75 80 85
图2: 注射药物B
②完成下面2 × 2 列联表, 并回答能否有99.9% 的把握认为“注射药物
疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
合计
注射药物A
注射药物B
合计
n =
附: K2 =
n(ad −bc)2
P (K2 ⩾k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
611
-
3. 已知三棱锥P −ABC 中, PA ⊥平面ABC, AB ⊥AC, PA = AC = 1
2AB,
N 为AB 上一点, AB = 4AN, M, S 分别为PB, BC 的中点.
(1) 证明: CM ⊥SN;
(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.
B
C
A
N
P
M
S
-
4. 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 过点F 的直线与椭圆
AF = 2# »
FB.
(1) 求椭圆C 的离心率;
(2) 如果|AB| = 15
4 , 求椭圆C 的方程.
-
5. 已知函数f (x) = (a + 1) ln x + ax2 + 1.
(1) 讨论函数f (x) 的单调性;
(2) 设a < −1, 如果对任意x1, x2 ∈(0, +∞), |f (x1)−f (x2) | ⩾4|x1 −x2|,
求a 的取值范围.
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6. 如图, △ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E.
(1) 证明: △ABE ∽△ADC;
(2) 若△ABC 的面积S = 1
2AD · AE, 求∠BAC 的大小.
A
B
C
D
E
-
7. 已知P 为半圆C:
{
x = cos θ,
y = sin θ,
(θ 为参数, 0 ⩽θ ⩽π) 上的点, 点A 的坐
标为(1, 0), O 为坐标原点, 点M 在射线OP 上, 线段OM 与C 的弧˜
AP
的长度均为π
3 .
(1) 以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 求点M 的极坐标;
(2) 求直线AM 的参数方程.
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8. 已知a, b, c 均为正数, 证明: a2 + b2 + c2 +
(1
c
)2
⩾6
√
3, 并确定
a, b, c 为何值时, 等号成立.
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