2010年重庆（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年重庆（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 在等比数列{an} 中, a2010 = 8a2007, 则公比q 的值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
2. 2. 已知向量a, b 满足a · b = 0, |a| = 1, |b| = 2, 则|2a −b| = ( ) √ 2 5分
   A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
3. 3. lim x→2 ( 4 x2 −4 − 1 x −2 ) = ( ) 4 4 5分
   A. −1 B. −1 C. 1 D. 1
4. 4. 设变量x, y 满足约束条件        y ⩾0, x −y + 1 ⩾0, x + y −3 ⩽0, 则z = 2x + y 的最大值为( ) 5分
   A. −2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 5. 函数f (x) = 4x + 1 2x 的图象 ( ) 5分
   A. 关于原点对称 B. 关于直线y = x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称
6. 6. 已知函数y = sin (ωx + φ) ( ω > 0, |φ| < π 2 ) 的部分图象如图所示, 则( ) x π 3 7π 12 y 1 O 6 6 6 6 5分
   A. ω = 1, φ = π B. ω = 1, φ = −π C. ω = 2, φ = π D. ω = 2, φ = −π
7. 7. 已知x > 0, y > 0, x + 2y + 2xy = 8, 则x + 2y 的最小值是 ( ) 2 2 5分
   A. 3 B. 4 C. 9 D. 11
8. 8. 直线y = √ 3 3 x + √ 2 与圆心为D 的圆 { x = √ 3 + √ 3 cos θ, y = 1 + √ 3 sin θ, (θ ∈[0, 2π)) 交于A, B 两点, 则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 ( ) 6π 4π 3π 3π 5分
   A. 7 B. 5 C. 4 D. 5
9. 9. 某单位安排7 位员工在10 月1 日至7 日值班, 每天1 人, 每人值班1 天, 若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天, 丙不排在10 月1 日, 丁不排在10 月7 日, 则不同的安排方案共有 ( ) 5分
   A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种
10. 10. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另 一条直线的平面内的轨迹是 ( ) 5分
    A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知复数z = 1 + i, 则2 z −z = . 5分
2. 2. 设U = {0, 1, 2, 3}, A = {x ∈U | x2 + mx = 0}, 若∁UA = {1, 2}, 则实 数m = . 5分
3. 3. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一 次的概率为16 25, 则该队员每次罚球的命中率为 . 5分
4. 4. 已知以F 为焦点的抛物线y2 = 4x 上的两点A、B 满足# » AF = 3# » FB, 则 弦AB 的中点到准线的距离为 . 5分
5. 5. 已知函数f (x) 满足: f (1) = 1 4, 4f (x) f (y) = f (x + y)+f (x −y) (x, y ∈ R), 则f (2010) = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f (x) = cos ( x + 2 3π ) + 2cos2 x 2, x ∈R. (1) 求f (x) 的值域; (2) 记△ABC 的内角A, B, C 的对边长分别为a, b, c, 若f (B) = 1, √ 3, 求a 的值.
2. 2. 在甲、乙等6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中, 每个单位的节目 集中安排在一起, 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1, 2, · · · , 6), 求: (1) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ 的分布列与期望.
3. 3. 已知函数f (x) = x −1 x + a + ln (x + 1), 其中实数a̸ = 1. (1) 若a = 2, 求曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2) 若f (x) 在x = 1 处取得极值, 试讨论f (x) 的单调性. 577
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA = AB = √ 6, 点E 是棱PB 的中点. (1) 求直线AD 与平面PBC 的距离; (2) 若AD = √ 3, 求二面角A −EC −D 的平面角的余弦值. P E A B C D
5. 5. 已知以原点O 为中心, F (√ 5, 0 ) 为右焦点的双曲线C 的离心率e = √ 5 2 . (1) 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程; (2) 如图, 已知过点M (x1, y1) 的直线l1: x1x + 4y1y = 4 与过点N (x2, y2) (其中x2̸ = x1) 的直线l2: x2x + 4y2y = 4 的交点E 在双曲线C 上, 直线 MN 与两条渐近线分别交于G、H 两点, 求△OGH 的面积. x y O M N H E G l1 l2 • •
6. 6. 在数列{an} 中, a1 = 1, an+1 = can + cn+1 (2n + 1) (n ∈N∗), 其中实数 c̸ = 0. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 若对一切k ∈N∗有a2k > a2k−1, 求c 的取值范围. 578

原卷配图（含真实几何/应用题图示）