2010年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2010年陕西（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 集合A = {x | −1 ⩽x ⩽2}, B = {x | x < 1}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {x | x < 1} B. {x | −1 ⩽x ⩽2} C. {x | −1 ⩽x ⩽1} D. {x | −1 ⩽x < 1}
2. 2. 复数z = i 1 + i 在复平面上对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 函数f (x) = 2 sin x cos x 是 5分
   A. 最小正周期为2π 的奇函数 B. 最小正周期为2π 的偶函数 C. 最小正周期为π 的奇函数 D. 最小正周期为π 的偶函数
4. 4. 如图, 样本A 和B 分别取自两个不同的总体, 它们的样本平均数分别为 xA 和xB, 样本标准差分别为sA 和sB, 则 ( ) A n 2 4 6 0 xA 5 10 15 • • • • • • B n 2 4 6 0 xB 5 10 15 • • • • • • 5分
   A. xA > xB, sA > sB B. xA < xB, sA > sB C. xA > xB, sA < sB D. xA < xB, sA < sB
5. 5. 如图是求x1, x2, · · · , x10 的乘积S 的程序框图, 图中空白框中应填入的内 容为 ( ) 开始 输入x1, x2, · · · , x10 n = 1, S = 1 n = n + 1 n ⩾10 输出S 结束 是 否 5分
   A. S = S∗(n + 1)(B) S = S ∗xn+1 (C) S = S ∗n D. S = S ∗xn
6. 6. “a > 0”是“|a| > 0”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 下列四类函数中, 具有性质“对任意的x > 0, y > 0, 函数f (x) 满足 ( ) 5分
   F. (x + y) = f (x) f(y)”的是 A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数
8. 8. 若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( ) 俯视图 主视图 左视图 √ 2 1 √ 2 3 3 5分
   A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
9. 9. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的准线与圆(x −3)2 + y2 = 16 相切, 则p 的 值为 ( ) 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 4
10. 10. 某学校要招开学生代表大会, 规定各班每10 人推选一名代表, 当各班人数 除以10 的余数大于6 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数y 与 该班人数x 之间的函数关系用取整函数y = [x] ([x] 表示不大于x 的最大 整数) 可以表示为 ( ) [ x 10 ] [x + 3 10 ] [x + 4 10 ] [x + 5 10 ] 5分
    A. y = B. y = C. y = D. y =

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 观察下列等式: 13 + 23 = 32, 13 + 23 + 33 = 62, 13 + 23 + 33 + 43 = 102, · · · , 根据上述规律, 第四个等式为 . 5分
2. 2. 已知向量a = (2, −1), b = (−1, m), c = (−1, 2), 若(a + b) c, 则 m = . 5分
3. 3. 已知函数f (x) = { 3x + 2, x < 1, x2 + ax, x ⩾1, 若f (f (0)) = 4a, 则实数a = . 5分
4. 4. 设x, y 满足约束条件        x + 2y ⩽4, x −y ⩽1, x + 2 ⩾0, 则目标函数z = 3x −y 的最大值 为 . 5分
5. 5. 三选一. 【A】不等式|2x −1| < 3 的解集为 . 【B】如图, 已知Rt△ABC 的两条直角边AC, BC 的长分别为3 cm, 4 cm, 以AC 为直径的圆与AB 交于点D, 则BD = . A B D C O • 【C】参数方程 { x = cos α, y = 1 + sin α, (α 为参数) 化成普通方程为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知{an} 是公差不为零的等差数列, a1 = 1 且a1, a3, a9 成等比数列. (1) 求数列{an} 的通项; (2) 求数列{2an} 的前n 项和Sn.
2. 2. 如图, 在△ABC 中, 已知∠B = 45◦, D 是BC 边上的一点, AD = 10, AC = 14, DC = 6, 求AB 的长. A B C D 625
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, AP = AB = 2, BC = 2 √ 2, E, F 分别是AD, PC 的中点. (1) 证明: PC ⊥平面BEF; (2) 求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小. A B F C D E P
4. 4. 为了解学生身高情况, 某校以10% 的比例对全校700 名学生按性别进行分 层抽样调查, 测得身高情况的统计图如下: (1) 估计该校男生的人数; (2) 估计该校学生身高在170 ∼185 cm 之间的概率; (3) 从样本中身高在165 ∼180 cm 之间的女生中任选2 人, 求至少有1 人 身高在170 ∼180 cm 之间的概率. 频数 0 身高/cm 5 14 13 4 2 男生 160165170175180185190 频数 0 身高/cm 7 12 6 3 1 女生 160165170175180185190
5. 5. 如图, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 的顶点为A1, A2, B1, B2, 焦点为F1, F2, |A1B1| = √ 7, S A1B1A2B2 = 2S B1F1B2F2. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设n 是过原点的直线, l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A, B 两点的直线, # » OP  = 1. 是否存在上述直线l 使# » AP · # » PB = 1 成立? 若存 在, 求出直线l 的方程; 若不存在, 请说明理由. x y O A1 A2 A F1 B B1 B2 F2 l n P • •
6. 6. 已知函数f (x) = √x, g (x) = a ln x, a ∈R. (1) 若曲线y = f (x) 与曲线y = g (x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求 (2) 设函数h (x) = f (x) −g (x), 当h (x) 存在最小值时, 求其最小值φ (a) 的解析式; (3) 对(2) 中的φ (a) 和任意的a > 0, b > 0, 证明: φ′ 2 ) ⩽ φ′ (a) + φ′ (b) 2 ⩽φ′ ( 2ab ) . 626

原卷配图（含真实几何/应用题图示）