2010年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2010年陕西（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 集合A = {x | −1 ⩽x ⩽2}, B = {x | x < 1}, 则A ∩ ( ∁RB ) = ( ) 5分
   A. {x | x > 1} B. {x | x ⩾1} C. {x | 1 < x ⩽2} D. {x | 1 ⩽x ⩽2}
2. 2. 复数z = i 1 + i 在复平面上对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 对于函数f (x) = 2 sin x cos x, 下列选项中正确的是 ( ) (π 4 , π 2 ) 上是递增的 5分
   A. 对于f (x) 在 B. f (x) 的图象关于原点对称 C. f (x) 的最小正周期为2π D. f (x) 的最大值为2
4. 4. ( x + a x )5 (x ∈R) 展开式中x3 的系数为10, 则实数a 等于 ( ) 2 5分
   A. −1 B. 1 C. 1 D. 2
5. 5. 已知函数f (x) = { 2x + 1, x < 1, x2 + ax, x ⩾1, 若f (f (0)) = 4a, 则实数a 等于( ) 2 5 5分
   A. 1 B. 4 C. 2 D. 9
6. 6. 如图所示是求样本x1, x2, · · · , x10 平均数x 的程序框图, 图中空白框中应 填入的内容为 ( ) 开始 输入x1, x2, · · · , x10 n = 1, S = 0 n = n + 1 n ⩾10 x = S n 输出x 结束 是 否 n n 5分
   A. S = S + xn B. S = S + xn C. S = S + n D. S = S + 1
7. 7. 若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 ( ) 俯视图 主视图 左视图 √ 2 1 √ 2 3 3 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
8. 8. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的准线与圆x2 + y2 −6x −7 = 0 相切, 则p 的值为 ( ) 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 4
9. 9. 对于数列{an}, “an+1 > |an| (n = 1, 2, · · · )”是“{an} 为递增数列”的( ) 5分
   A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 10. 某学校要招开学生代表大会, 规定各班每10 人推选一名代表, 当各班人数 除以10 的余数大于6 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数y 与 该班人数x 之间的函数关系用取整函数y = [x] ([x] 表示不大于x 的最大 整数) 可以表示为 ( ) [ x 10 ] [x + 3 10 ] [x + 4 10 ] [x + 5 10 ] 5分
    A. y = B. y = C. y = D. y =

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知向量a = (2, −1), b = (−1, m), c = (−1, 2), 若(a + b) c, 则 m = . 5分
2. 2. 观察下列等式: 13 + 23 = 32, 13 + 23 + 33 = 62, 13 + 23 + 33 + 43 = 102, · · · , 根据上述规律, 第五个等式为 . 5分
3. 3. 从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x, y), 则点M 取自阴影部分的 概率为 . 1 3 x y y = 3x2 O 5分
4. 4. 铁矿石A 和B 的含铁率a, 冶炼每万吨铁矿石的CO2 排放量b 及每万吨 铁矿石的价格c 如下表: a A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产1.9 (万吨) 铁, 若要求CO2 的排放量不超过2 (万吨), 则购买铁矿石的最少费用为 (百万元). 5分
   B. (万吨) C. (百万元)
5. 5. 三选一. 【A】不等式|x + 3| −|x −2| ⩾3 的解集为 . 【B】如图, 已知Rt△ABC 的两条直角边AC, BC 的长分别为3 cm, 4 cm, 以AC 为直径的圆与AB 交于点D, 则BD DA = . A B D C O • 【C】已知圆C 的参数方程为 { x = cosα, y = 1 + sin α, (α 为参数), 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l 的极坐标方程为ρ sin θ = 1, 则直 线l 与圆C 的交点的直角坐标为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知{an} 是公差不为零的等差数列, a1 = 1 且a1, a3, a9 成等比数列. (1) 求数列{an} 的通项; (2) 求数列{2an} 的前n 项和Sn.
2. 2. 如图, A, B 是海面上位于东西方向相距5 ( 3 + √ 3 ) 海里的两个观测点. 现 位于A 点北偏东45◦, B 点北偏西60◦的D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于B 点南偏西60◦且与B 点相距20 √ 3 海里的C 点的救援船立即前 往营救, 其航行速度为30 海里/小时, 该救援船到达D 点需要多长时间? 北 北 A B C D 45◦ 60◦ 60◦ 623
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, AP = AB = 2, BC = 2 √ 2, E, F 分别是AD, PC 的中点. (1) 证明: PC ⊥平面BEF; (2) 求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小. A B F C D E P
4. 4. 为了解学生身高情况, 某校以10% 的比例对全校700 名学生按性别进行分 层抽样调查, 测得身高情况的统计图如下: (1) 估计该校男生的人数; (2) 估计该校学生身高在170 ∼185 cm 之间的概率; (3) 从样本中身高在165 ∼180 cm 之间的女生中任选2 人, 求至少有1 人 身高在170 ∼180 cm 之间的概率. 频数 0 身高/cm 5 14 13 4 2 男生 160165170175180185190 频数 0 身高/cm 7 12 6 3 1 女生 160165170175180185190
5. 5. 如图, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 的顶点为A1, A2, B1, B2, 焦点为F1, F2, |A1B1| = √ 7, S A1B1A2B2 = 2S B1F1B2F2. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设n 是过原点的直线, l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A, B 两点的直线, # » OP  = 1. 是否存在上述直线l 使# » AP · # » PB = 1 成立? 若存 在, 求出直线l 的方程; 若不存在, 请说明理由. x y O A1 A2 A F1 B B1 B2 F2 l n P • •
6. 6. 已知函数f (x) = √x, g (x) = a ln x, a ∈R. (1) 若曲线y = f (x) 与曲线y = g (x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求 (2) 设函数h (x) = f (x) −g (x), 当h (x) 存在最小值时, 求其最小值φ (a) 的解析式; (3) 对(2) 中的φ (a) 和任意的a > 0, b > 0, 证明: φ′ 2 ) ⩽ φ′ (a) + φ′ (b) 2 ⩽φ′ ( 2ab ) . 624

原卷配图（含真实几何/应用题图示）