2011年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年上海（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 若全集U = R, 集合A = {x | x ⩾1}, 则∁UA = . 5分
2. 2. lim n→∞ ( 1 − 3n n + 3 ) = . 5分
3. 3. 若函数f (x) = 2x + 1 的反函数为f −1 (x), 则f −1 (−2) = . 5分
4. 4. 函数y = 2 sin x −cos x 的最大值为 . 5分
5. 5. 若直线l 过点(3, 4), 且(1, 2) 是它的一个法向量, 则直线l 的方程为 . 5分
6. 6. 不等式1 x < 1 的解集为 . 5分
7. 7. 若一个圆锥的主视图(如图所示) 是边长为3, 3, 2 的三角形, 则该圆锥的 侧面积为 . 2 3 3 5分
8. 8. 在相距2 千米的A, B 两点处测量目标点C, 若∠CAB = 75◦, ∠CBA = 60◦, 则A, C 两点之间的距离是千米 . 5分
9. 9. 若变量x, y 满足条件 { 3x −y ⩽0, x −3y + 5 ⩾0, 则z = x + y 的最大值为 . 5分
10. 10. 课题组进行城市空气质量调查, 按地域把24 个城市分成甲、乙、丙三组, 对应的城市数分别为4、12、8, 若用分层抽样抽取6 个城市, 则丙组中应 抽取的城市数为 . 5分
11. 11. 行列式  a b c d  (a, b, c, d ∈{−1, 1, 2}) 所有可能的值中, 最大的 是 . 5分
12. 12. 在正三角形ABC 中, D 是BC 上的点. 若AB = 3, BD = 1, 则 # » AB · # » AD = . 5分
13. 13. 随机抽取的9 位同学中, 至少有2 位同学在同一月份出生的概率为 . (默认每个月的天数相同, 结果精确到0.001) 5分
14. 14. 设g (x) 是定义在R 上, 以1 为周期的函数, 若函数f (x) = x + g (x) 在 区间[0, 1] 上的值域为[−2, 5], 则f (x) 在区间[0, 3] 上的值域为 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 下列函数中, 既是偶函数, 又在区间(0, +∞) 上单调递减的是 ( ) 1 3 5分
   A. y = x−2 B. y = x−1 C. y = x2 D. y = x
2. 2. 若a, b ∈R, 且ab > 0, 则下列不等式中, 恒成立的是 ( ) √ ab 2 √ ab 5分
   A. a2 + b2 > 2ab B. a + b ⩾2 C. 1 A. + 1 B. > D. b A. + a B. ⩾2
3. 3. 若三角方程sin x = 0 与sin 2x = 0 的解集分别为E, F, 则 ( ) 5分
   A. E ⫋F B. E ⫌F C. E = F D. E ∩F = ∅
4. 4. 设A1, A2, A3, A4 是平面上给定的4 个不同点, 则使# » MA1+ # » MA2+ # » MA3+ # » MA4 = #»0 成立的点M 的个数为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知复数z1 满足(z1 −2) (1 + i) = 1 −i (i 为虚数单位), 复数z2 的虚部 为2, 且z1 · z2 是实数, 求z2.
2. 2. 已知ABCD −A1B1C1D1 是底面边长为1 的正四棱柱, 高AA1 = 2, 求: (1) 异面直线BD 与AB1 所成角的余弦值; (2) 四面体AB1D1C 的体积. A1 B1 C1 A B C D D1 699
3. 3. 已知函数f (x) = a · 2x + b · 3x, 其中常数a, b 满足a · b̸ = 0. (1) 若a · b > 0, 判断函数f (x) 的单调性; (2) 若a · b < 0, 求f (x + 1) > f (x) 时的x 的取值范围.
4. 4. 已知椭圆C: x2 m2 + y2 = 1 (常数m > 1), P 是曲线C 上的动点, M 是曲 线C 的右顶点, 定点A 的坐标为(2, 0). (1) 若M 与A 重合, 求曲线C 的焦点坐标; (2) 若m = 3, 求|PA| 的最大值与最小值; (3) 若|PA| 的最小值为|MA|, 求实数m 的取值范围.
5. 5. 已知数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an = 3n + 6、bn = 2n + 7 (n ∈N∗), 将集合{x | x = an, n ∈N∗} ∪{x | x = bn, n ∈N∗} 中的元素 从小到大依次排列, 构成数列c1, c2, c3, · · · , cn, · · · . (1) 求三个最小的数, 使它们既是数列{an} 中的项, 又是数列{bn} 中的项; (2) 数列c1, c2, c3, · · · , c40 中有多少项不是数列{bn} 中的项? 请说明理 由; (3) 求数列{cn} 的前4n 项和S4n (n ∈N∗). 700

原卷配图（含真实几何/应用题图示）