2011年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 函数f (x) = 1 x −2 的反函数为f −1 (x) = . 5分
2. 2. 若全集U = R, 集合A = {x | x ⩾1} ∪{x | x ⩽0}, 则∁UA = . 5分
3. 3. 设m 为常数, 若点F (0, 5) 是双曲线y2 m −x2 9 = 1 的一个焦点, 则 m = . 5分
4. 4. 不等式x + 1 x ⩽3 的解集为 . 5分
5. 5. 在极坐标系中, 直线ρ (2 cos θ + sin θ) = 2 与直线ρ cos θ = 1 的夹角大小 为 . (结果用反三角函数值表示) 5分
6. 6. 在相距2 千米的A, B 两点处测量目标C, 若∠CAB = 75◦, ∠CBA = 60◦, 则A, C 两点之间的距离为 千米. 5分
7. 7. 若圆锥的侧面积为2π, 底面面积为π, 则该圆锥的体积为 . 5分
8. 8. 函数y = sin (π 2 + x ) cos (π 6 −x ) 的最大值为 . 5分
9. 9. 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ 的概率分布列如下表: X 1 2 3 P (ξ = x) ? ! ? 请小牛同学计算ξ 的数学期望, 尽管“!”处无法完全看清, 且两个“?”处字 迹模糊, 但能肯定这两个“?”处的数值相同. 据此, 小牛给出了正确答案 Eξ = . 5分
10. 10. 行列式  a b c d  (a, b, c, d ∈{−1, 1, 2}) 所有可能的值中, 最大的 是 . 5分
11. 11. 在正三角形ABC 中, D 是BC 上的点. 若AB = 3, BD = 1, 则 # » AB · # » AD = . 5分
12. 12. 随机抽取的9 位同学中, 至少有2 位同学在同一月份出生的概率为 . (默认每个月的天数相同, 结果精确到0.001) 5分
13. 13. 设g (x) 是定义在R 上, 以1 为周期的函数, 若函数f (x) = x + g (x) 在区 间[3, 4] 上的值域为[−2, 5], 则f (x) 在区间[−10, 10] 上的值域为 . 5分
14. 14. 已知点O (0, 0), Q0 (0, 1) 和点R0 (3, 1), 记Q0R0 的中点为P1, 取Q0P1 和 P1R0 中的一条, 记其端点为Q1, R1, 使之满足(|OQ1| −2) (|OR1| −2) < 0, 记Q1R1 的中点为P2, 取Q1P2 和P2R1 中的一条, 记其端点为Q2, R2, 使之满足(|OQ2| −2) (|OR2| −2) < 0. 依次下去, 得到P1, P2, · · · , Pn, · · · , 则lim n→∞|Q0Pn| = . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若a, b ∈R, 且ab > 0, 则下列不等式中, 恒成立的是 ( ) √ ab 2 √ ab 5分
   A. a2 + b2 > 2ab B. a + b ⩾2 C. 1 A. + 1 B. > D. b A. + a B. ⩾2
2. 2. 下列函数中, 既是偶函数, 又是在区间(0, +∞) 上单调递减的函数是 ( ) |x| 5分
   A. y = ln 1 B. y = x3 C. y = 2|x| D. y = cos x
3. 3. 设A1, A2, A3, A4, A5 是平面上给定的5 个不同点, 则使# » MA1 + # » MA2 + # » MA3 + # » MA4 + # » MA5 = #»0 成立的点M 的个数为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 5 D. 10
4. 4. 设{an} 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为ai, ai+1 的矩形面积(i = 1, 2, · · · ), 则{An} 为等比数列的充要条件为 ( ) 同 5分
   A. {an} 是等比数列 B. a1, a3, · · · , a2n−1, · · · 或a2, a4, · · · , a2n, · · · 是等比数列 C. a1, a3, · · · , a2n−1, · · · 和a2, a4, · · · , a2n, · · · 均是等比数列 D. a1, a3, · · · , a2n−1, · · · 和a2, a4, · · · , a2n, · · · 均是等比数列, 且公比相

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知复数z1 满足(z1 −2) (1 + i) = 1 −i (i 为虚数单位), 复数z2 的虚部 为2, 且z1 · z2 是实数, 求z2.
2. 2. 已知函数f (x) = a · 2x + b · 3x, 其中常数a, b 满足a · b̸ = 0. (1) 若a · b > 0, 判断函数f (x) 的单调性; (2) 若a · b < 0, 求f (x + 1) > f (x) 时的x 的取值范围. 697
3. 3. 已知ABCD −A1B1C1D1 是底面边长为1 的正四棱柱, O1 为A1C1 与 B1D1 的交点. (1) 设AB1 与底面A1B1C1D1 所成角的大小为α, 二面角A −B1D1 −A1 的大小为β. 求证: tan β = √ 2 tan α; (2) 若点C 到平面AB1D1 的距离为4 3, 求正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的高. A1 B1 C1 A B C O D D1
4. 4. 已知数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an = 3n + 6、bn = 2n + 7 (n ∈N∗), 将集合{x | x = an, n ∈N∗} ∪{x | x = bn, n ∈N∗} 中的元素 从小到大依次排列, 构成数列c1, c2, c3, · · · , cn, · · · . (1) 求c1, c2, c3, c4; (2) 求证: 在数列{an} 中, 但不在数列{bn} 中的项恰为a2, a4, · · · , a2n, · · · ; (3) 求数列{cn} 的通项公式.
5. 5. 已知平面上的线段l 及点P, 在l 上任取一点Q, 线段PQ 长度的最小值 称为点P 到线段l 的距离, 记作d (P, l). (1) 求点P (1, 1) 到线段l: x −y −3 = 0 (3 ⩽x ⩽5) 的距离d (P, l); (2) 设l 是长为2 的线段, 求点的集合D = {P | d (P, l) ⩽1} 所表示的图 形面积; (3) 写出到两条线段 l1, l2 距离相等的点的集合 Ω = {P | d (P, l1) = d (P, l2)}, 其中l1 = AB, l2 = CD, A, B, C, D 是下 列三组点中的一组. 对于下列三组点只需选做一种, 满分分别是①2 分, ② 6 分, ③8 分; 若选择了多于一种情形, 则按照序号较小的解答计分. ①A (1, 3), B (1, 0), C (−1, 3), D (−1, 0). ②A (1, 3), B (1, 0), C (−1, 3), D (−1, −2). ③A (0, 1), B (0, 0), C (0, 0), D (2, 0). 698

原卷配图（含真实几何/应用题图示）