2011年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知全集U = R, 集合P = {x | x2 ⩽1}, 那么∁UP = ( ) 5分
   A. (−∞, −1) B. (1, +∞) C. (−1, 1) D. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
2. 2. 复数i −2 1 + 2i = ( ) 5 −3 5i 5 + 3 5i 5分
   A. i B. −i C. −4 D. −4
3. 3. 如果log 1 2 x < log 1 2 y < 0, 那么 ( ) 5分
   A. y < x < 1 B. x < y < 1 C. 1 < x < y D. 1 < y < x
4. 4. 若p 是真命题, q 是假命题, 则 ( ) 5分
   A. p ∧q 是真命题(B) p ∨q 是假命题(C) ¬p 是真命题(D) ¬q 是真命题
5. 5. 某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥的表面积是 ( ) 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 4 4 2 √ 2 √ 2 5分
   A. 32 B. 16 + 16 C. 48 D. 16 + 32
6. 6. 执行如图所示的程序框图, 若输入A 的值为2, 则输出的P 的值为 ( ) 开始 输入A P = 1, S = 1 S ⩽A P = P + 1 S = S + 1 P 输出P 结束 是 否 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 7. 某车间分批生产某种产品, 每批的生产准备费用为800 元. 若每批生产x 件, 则平均仓储时间为x 8 天, 且每件产品每天的仓储费用为1 元. 为使平 均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小, 每批应生产产品( ) 5分
   A. 60 件 B. 80 件 C. 100 件 D. 120 件
8. 8. 已知点A (0, 2), B (2, 0). 若点C 在函数y = x2 的图象上, 则使得△ABC 的面积为2 的点C 的个数为 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 若b = 5, ∠B = π 4 , sin A = 1 3, 则a = . 5分
2. 2. 已知双曲线x2 −y2 b2 = 1 (b > 0) 的一条渐近线的方程为y = 2x, 则 . 5分
   B. =
3. 3. 已知向量a = (√ 3, 1 ) , b = (0, −1), c = ( k, √ 3 ) . 若a −2b 与c 共线, 则 k = . 5分
4. 4. 在等比数列{an} 中, a1 = 1 2, a4 = −4, 则公比q = ; a1 + a2 + · · · + an = . 5分
5. 5. 已知函数f (x) =    2 x, x ⩾2, (x −1)3, x < 2, 若关于x 的方程f (x) = k 有两个 不同的实根, 则实数k 的取值范围是 . 5分
6. 6. 设A (0, 0), B (4, 0), C (t + 4, 3), D (t, 3) (t ∈R). 记N (t) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界) 的整点的个数, 其中整点是指横、纵坐标都是整 数的点, 则N (0) = ; N (t) 的所有可能取值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 4 cos x sin ( x + π 6 ) −1. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 在区间 [ −π 6 , π 4 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数. 乙组记录中有一个 数据模糊, 无法确认, 在图中以X 表示. 甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 (1) 如果X = 8, 求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2) 如果X = 9, 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 求这两名同学的 植树总棵数为19 的概率. (注: 方差s2 = 1 n [ (x1 −x)2 + (x2 −x)2 + . . . + (xn −x)2] , 其中x 为x1, x2, · · · , xn 的平均数)
3. 3. 如图, 在四面体PABC 中, PC ⊥AB, PA ⊥BC, 点D, E, F, G 分别是 棱AP, AC, BC, PB 的中点. (1) 求证: DE 平面BCP; (2) 求证: 四边形DEFG 为矩形; (3) 是否存在点Q, 到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等? 说明理由. A B E F C D G P 649
4. 4. 已知函数f (x) = (x −k)ex. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 求f (x) 在区间[0, 1] 上的最小值.
5. 5. 已知椭圆G: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 6 3 , 右焦点为 ( 2 √ 2, 0 ) , 斜率为1 的直线l 与椭圆G 交于A, B 两点, 以AB 为底边作等腰三角 形, 顶点为P (−3, 2). (1) 求椭圆G 的方程; (2) 求△PAB 的面积.
6. 6. 若数列An: a1, a2, · · · , an (n ⩾2) 满足|an+1 −ak| = 1 (k = 1, 2, · · · , n −1), 则称An 为E 数列. 记S (An) = a1 + a2 + · · · + an. (1) 写出一个E 数列A5 满足a1 = a3 = 0; (2) 若a1 = 12, n = 2000, 证明: E 数列An 是递增数列的充要条件是 an = 2011; (3) 在a1 = 4 的E 数列An 中, 求使得S (An) = 0 成立的n 的最小值. 650

原卷配图（含真实几何/应用题图示）