2011年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合P = {x | x2 ⩽1}, M = {a}. 若P ∪M = P, 则a 的取值范围 是 ( ) 5分
   A. (−∞, −1] B. [1, +∞) C. [−1, 1] D. (−∞, −1] ∪[1, +∞)
2. 2. 复数i −2 1 + 2i = ( ) 5 −3 5i 5 + 3 5i 5分
   A. i B. −i C. −4 D. −4
3. 3. 在极坐标系中, 圆ρ = −2 sin θ 的圆心的极坐标是 ( ) (A) ( 1, π 2 ) (B) ( 1, −π 2 ) 5分
   C. (1, 0) D. (1, π)
4. 4. 执行如图所示的程序框图, 输出的s 的值为 ( ) 开始 i = 0, s = 2 i < 4 i = i + 1 s = s −1 s + 1 输出s 结束 是 否 2 3 5分
   A. −3 B. −1 C. 1 D. 2
5. 5. 如图, AD, AE, BC 分别与圆O 切于点D, E, F, 延长AF 与圆O 交于 另一点G. 给出下列三个结论: ①AD + AE = AB + BC + CA; ②AF · AG = AD · AE; ③△AFB ∽△ADG. 其中正确结论的序号是 ( ) A O B C D E F G • 5分
   A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
6. 6. 根据统计, 一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位: 分钟) 为      c √x, x < A, c √ A , x ⩾A, (A, c 为常数). 已知工人组装第4 件产品用时 30 分钟, 组装第A 件产品用时15 分钟, 那么c 和A 的值分别是 ( ) 5分
   F. (x) = A. 75, 25 B. 75, 16 C. 60, 25 D. 60, 16
7. 7. 某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积中最大的是 ( ) 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 4 4 3 √ 2 √ 2 5分
   A. 8 B. 6 C. 10 D. 8
8. 8. 设A (0, 0), B (4, 0), C (t + 4, 4), D (t, 4) (t ∈R). 记N (t) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界) 的整点的个数, 其中整点是指横、纵坐标都是整 数的点, 则函数N (t) 的值域为 ( ) 5分
   A. {9, 10, 11} B. {9, 10, 12} C. {9, 11, 12} D. {10, 11, 12}

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 若b = 5, ∠B = π 4 , tan A = 2, 则sin A = ; a = . 5分
2. 2. 已知向量a = (√ 3, 1 ) , b = (0, −1), c = ( k, √ 3 ) . 若a −2b 与c 共线, 则 k = . 5分
3. 3. 在等比数列{an} 中, a1 = 1 2, a4 = −4, 则公比q = ; |a1| + |a2| + · · · + |an| = . 5分
4. 4. 用数字2, 3 组成四位数, 且数字2, 3 至少都出现一次, 这样的四位数共 有 个. (用数字作答) 5分
5. 5. 已知函数f (x) =    2 x, x ⩾2, (x −1)3, x < 2, 若关于x 的方程f (x) = k 有两个 不同的实根, 则实数k 的取值范围是 . 5分
6. 6. 曲线C 是平面内与两个定点F1 (−1, 0) 和F2 (1, 0) 的距离的积等于常数 a2 (a > 1) 的点的轨迹. 给出下列三个结论: ①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称; ③若点P 在曲线C 上, 则△F1PF2 的面积不大于1 2a2. 其中, 所有正确结论的序号是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 4 cos x sin ( x + π 6 ) −1. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 在区间 [ −π 6 , π 4 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, 底面ABCD 是菱形, AB = 2, ∠BAD = 60◦. (1) 求证: BD ⊥平面PAC; (2) 若PA = AB, 求PB 与AC 所成角的余弦值; (3) 当平面PBC 与平面PDC 垂直时, 求PA 的长. A B C D P 647
3. 3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数. 乙组记录中有一个 数据模糊, 无法确认, 在图中以X 表示. 甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 (1) 如果X = 8, 求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2) 如果X = 9, 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 求这两名同学的 植树总棵数Y 的分布列和数学期望. (注: 方差s2 = 1 n [ (x1 −x)2 + (x2 −x)2 + . . . + (xn −x)2] , 其中x 为x1, x2, · · · , xn 的平均数)
4. 4. 已知函数f (x) = (x −k)2e x k . (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 若对于任意的x ∈(0, +∞), 都有f (x) ⩽1 e, 求k 的取值范围.
5. 5. 已知椭圆G: x2 4 + y2 = 1. 过点(m, 0) 作圆x2 + y2 = 1 的切线l 交椭圆 (1) 求椭圆G 的焦点坐标和离心率; (2) 将|AB| 表示为m 的函数, 并求|AB| 的最大值.
6. 6. 若数列An: a1, a2, · · · , an (n ⩾2) 满足|an+1 −ak| = 1 (k = 1, 2, · · · , n −1), 则称An 为E 数列. 记S (An) = a1 + a2 + · · · + an. (1) 写出一个满足a1 = a5 = 0, 且S (A5) > 0 的E 数列A5; (2) 若a1 = 12, n = 2000, 证明: E 数列An 是递增数列的充要条件是 an = 2011; (3) 对任意给定的整数n (n ⩾2), 是否存在首项为0 的E 数列An, 使得 S (An) = 0? 如果存在, 写出一个满足条件的E 数列An; 如果不存在, 说 明理由. 648

原卷配图（含真实几何/应用题图示）