2011年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年四川（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若全集M = {1, 2, 3, 4, 5}, N = {2, 4}, 则∁MN = ( ) 5分
   A. ∅ B. {1, 3, 5} C. {2, 4} D. {1, 2, 3, 4, 5}
2. 2. 有一容量为66 的样本, 数据的分组及各组的频数如下: [11.5, 15.5) 2 [15.5, 19.5) 4 [19.5, 23.5) 9 [23.5, 27.5) 18 [27.5, 31.5) 11 [31.5, 35.5) 12 [35.5, 39.5) 7 [39.5, 43.5) 3 根据样本的频率分布估计, 大于或等于31.5 的数据约占 ( ) 11 3 2 3 5分
   A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3. 3. 圆x2 + y2 −4x + 6y = 0 的圆心坐标是 ( ) 5分
   A. (2, 3) B. (−2, 3) C. (−2, −3) D. (2, −3)
4. 4. 函数y = (1 2 )x + 1 的图象关于直线y = x 对称的图象大致是 ( ) (A) x 1 2 1 y O (B) x 1 2 1 y O (C) x 1 1 2 y O (D) x −1 −2 1 y O 5分
5. 5. “x = 3”是“x2 = 9”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件
6. 6. l1, l2, l3 是空间三条不同的直线, 则下列命题正确的是 ( ) l3 l3 ⇒l1 ⊥l3 l2 l3 ⇒l1, l2, l3 共面 5分
   A. l1 ⊥l2, l2 ⊥l3 ⇒l1 B. l1 ⊥l2, l2 C. l1 D. l1, l2, l3 共点⇒l1, l2, l3 共面
7. 7. 如图, 正六边形ABCDEF 中, # » BA + # » CD + # » EF = ( ) A E C F B D BE AD CF 5分
   A. 0 B. # » C. # » D. # »
8. 8. 在△ABC 中, sin2A ⩽sin2B+sin2C −sin B sin C, 则A 的取值范围是( ) (A) ( 0, π 6 ] (B) [π 6 , π ) (C) ( 0, π 3 ] (D) [π 3 , π ) 5分
9. 9. 数列{an} 的前n 项和为Sn, 若a1 = 1, an+1 = 3Sn (n ⩾1), 则a6 =( ) 5分
   A. 3 × 44 B. 3 × 44 + 1 C. 45 D. 45 + 1
10. 10. 某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人, 有8 辆载重量为10 吨的甲型 卡车和7 辆载重量为6 吨的乙型卡车. 某天需运往A 地至少72 吨的货 物, 派用的每辆车需载满且只运送一次, 派用的每辆甲型卡车需配2 名工 人, 运送一次可得利润450 元; 派用的每辆乙型卡车需配1 名工人, 运送一 次可得利润350 元, 该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数, 可得最 大利润z = ( ) 5分
    A. 4650 元 B. 4700 元 C. 4900 元 D. 5000 元
11. 11. 在抛物线y = x2 + ax −5 (a̸ = 0) 上取横坐标为x1 = −4, x2 = 2 的两 点, 经过两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 + 5y2 = 36 相切, 则抛物线顶点的坐标为 ( ) 5分
    A. (−2, −9) B. (0, −5) C. (2, −9) D. (1, −6)
12. 12. 在集合{1, 2, 3, 4, 5} 中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起 点的向量α = (a, b). 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量 为邻边作平行四边形, 记所有作成的平行四边形的个数为n, 其中面积等于 2 的平行四边形的个数为m, 则m n = ( ) 15 5 15 3 5分
    A. 2 B. 1 C. 4 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (x + 1)9 的展开式中x3 的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 双曲线x2 64 −y2 36 = 1 上一点P 到双曲线右焦点的距离是4, 那么点P 到 左准线的距离是 . 5分
3. 3. 如图, 半径为4 的球O 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时, 球的表 面积与该圆柱的侧面积之差是 . • O 5分
4. 4. 函数f (x) 的定义域为A, 若x1, x2 ∈A 且f (x1) = f (x2) 时总有x1 = x2, 则称f (x) 为单函数. 例如, 函数f (x) = 2x + 1 (x ∈R) 是单函数. 下列 命题: ①函数f (x) = x2 (x ∈R) 是单函数; ②指数函数f (x) = 2x (x ∈R) 是单函数; ③若f (x) 为单函数, x1, x2 ∈A 且x1̸ = x2, 则f (x1)̸ = f (x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 本着健康、低碳的生活理念, 租自行车骑游的人越来越多. 某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分 每小时收费2 元(不足1 小时的部分按1 小时计算). 有甲、乙两人相互独 立来该租车点租车骑游(各租一车一次). 设甲、乙不超过两小时还车的概 率分别为1 4、1 2; 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是1 2、1 4; 两 人租车时间都不会超过四小时. (1) 分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元的概率.
2. 2. 已知函数f (x) = sin ( x + 7π 4 ) + cos ( x −3π 4 ) , x ∈R. (1) 求f (x) 的最小正周期和最小值; (2) 已知cos (β −α) = 4 5, cos (β + α) = −4 5, 0 < α < β ⩽π 2 , 求证: [f (β)]2 −2 = 0. 703
3. 3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠BAC = 90◦, AB = AC = AA1 = 1. 延长A1C1 至点P, 使C1P = A1C1, 连接AP 交棱CC1 于点D. (1) 求证: PB1 平面BDA1; (2) 求二面角A −A1D −B 的平面角的余弦值. A B C D P A1 B1 C1
4. 4. 已知{an} 是以a 为首项, q 为公比的等比数列, Sn 为它的前n 项和. (1) 当S1, S3, S4 成等差数列时, 求q 的值; (2) 当Sm, Sn, Sl 成等差数列时, 求证: 对任意自然数k, am+k, an+k, al+k 也成等差数列.
5. 5. 过点C (0, 1) 的椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , 椭圆与x 轴交于两点A (a, 0), B (−a, 0), 过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D, 并 与x 轴交于点P, 直线AC 与直线BD 交于点Q. (1) 当直线l 过椭圆右焦点时, 求线段CD 的长; (2) 当点P 异于点B 时, 求证: # » OP · # » OQ 为定值. x y O A B P D Q C l
6. 6. 已知函数f (x) = 2 3x + 1 2, h (x) = √x. (1) 设函数F (x) = 18f (x) −x2[h (x)]2, 求F (x) 的单调区间与极值; (2) 设a ∈R, 解关于x 的方程lg [3 2f (x −1) −3 4 ] = 2 lg h (a −x) − 2 lg h (4 −x); (3) 设n ∈N∗, 证明: f (n) h (n) −[h (1) + h (2) + · · · + h (n)] ⩾1 6. 704

原卷配图（含真实几何/应用题图示）