本卷为官方高考数学真题（2011年四川（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 有一容量为66 的样本, 数据的分组及各组的频数如下:
[11.5, 15.5)
2
[15.5, 19.5)
4
[19.5, 23.5)
9
[23.5, 27.5)
18
[27.5, 31.5)
11
[31.5, 35.5)
12
[35.5, 39.5)
7
[39.5, 43.5)
3
根据样本的频率分布, 估计数据落在[31.5, 43.5) 的概率约是
(
)
6
3
2
3 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
-
2. 复数−i + 1
i =
(
)
2i 5分
A. −2i
B. 1
C. 0
D. 2i
-
3. l1, l2, l3 是空间三条不同的直线, 则下列命题正确的是
(
)
l3
l3 ⇒l1 ⊥l3
l2
l3⇒l1, l2, l3 共面 5分
A. l1 ⊥l2, l2 ⊥l3 ⇒l1
B. l1 ⊥l2, l2
C. l1
D. l1, l2, l3 共点⇒l1, l2, l3 共面
-
4. 如图, 正六边形ABCDEF 中, # »
BA + # »
CD + # »
EF =
(
)
A
E
C
F
B
D
BE
AD
CF 5分
A. 0
B. # »
C. # »
D. # »
-
5. “函数f (x) 在点x = x0 处有定义”是“f (x) 在点x = x0 处连续”的
(
) 5分
A. 充分而不必要的条件
B. 必要而不充分的条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要的条件
-
6. 在△ABC 中, sin2A ⩽sin2B+sin2C −sin B sin C, 则A 的取值范围是(
)
(A)
(
0, π
6
]
(B)
[π
6 , π
)
(C)
(
0, π
3
]
(D)
[π
3 , π
) 5分
-
7. 已知f (x) 是R 上的奇函数, 且当x > 0 时, f (x) =
(1
2
)x
+ 1, 则f (x)
的反函数的图象大致是
(
)
(A)
x
−1
−2
1
2
1
2
−1
−2
y
O
•
(B)
x
−1
−2
1
2
1
2
−1
−2
y
O
•
(C)
x
−1
−2
1
2
1
2
−1
−2
y
O
•
(D)
x
−1
−2
1
2
1
2
−1
−2
y
O
• 5分
-
8. 数列{an} 的首项为3, {bn} 为等差数列且bn = an+1 −an (n ∈N∗). 若
b3 = −2, b10 = 12, 则a8 =
(
) 5分
A. 0
B. 3
C. 8
D. 11
-
9. 某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人, 有8 辆载重量为10 吨的甲型
卡车和7 辆载重量为6 吨的乙型卡车. 某天需运往A 地至少72 吨的货
物, 派用的每辆车需载满且只运送一次, 派用的每辆甲型卡车需配2 名工
人, 运送一次可得利润450 元; 派用的每辆乙型卡车需配1 名工人, 运送一
次可得利润350 元, 该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数, 可得最
大利润z =
(
) 5分
A. 4650 元
B. 4700 元
C. 4900 元
D. 5000 元
-
10. 在抛物线y = x2 + ax −5 (a̸ = 0) 上取横坐标为x1 = −4, x2 = 2 的两
点, 经过两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
5x2 + 5y2 = 36 相切, 则抛物线顶点的坐标为
(
) 5分
A. (−2, −9)
B. (0, −5)
C. (2, −9)
D. (1, −6)
-
11. 已知定义在[0, +∞) 上的函数f (x) 满足f (x) = 3f (x + 2), 当x ∈[0, 2)
时, f (x) = −x2 + 2x. 设f (x) 在[2n −2, 2n) 上的最大值为an (n ∈N∗),
且{an} 的前n 项和为Sn, 则lim
n→∞Sn =
(
)
2
2 5分
A. 3
B. 5
C. 2
D. 3
-
12. 在集合{1, 2, 3, 4, 5} 中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起
点的向量α = (a, b). 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量
为邻边作平行四边形. 记所有作成的平行四边形的个数为n, 其中面积不
超过4 的平行四边形的个数为m, 则m
n =
(
)
15
3
5
3 5分
A. 4
B. 1
C. 2
D. 2
-
1. 已知函数f (x) = sin
(
x + 7π
4
)
+ cos
(
x −3π
4
)
, x ∈R.
(1) 求f (x) 的最小正周期和最小值;
(2) 已知cos (β −α) = 4
5, cos (β + α) = −4
5, 0 < α < β ⩽π
2 , 求证:
[f (β)]2 −2 = 0.
-
2. 本着健康、低碳的生活理念, 租自行车骑游的人越来越多. 某自行车租车点
的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每
小时收费2 元(不足1 小时的部分按1 小时计算). 有甲、乙两人相互独立
来该租车点租车骑游(各租一车一次). 设甲、乙不超过两小时还车的概率
分别为1
4、1
2; 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是1
2、1
4; 两人
租车时间都不会超过四小时.
(1) 求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;
(2) 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ, 求ξ 的分布列及数学
期望Eξ.
701
-
3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠BAC = 90◦, AB = AC = AA1 =
1. D 是棱CC1 上的一点, P 是AD 的延长线与A1C1 的延长线的交点,
且PB1
平面BDA1.
(1) 求证: CD = C1D;
(2) 求二面角A −A1D −B 的平面角的余弦值;
(3) 求点C 到平面B1DP 的距离.
A
B
C
D
P
A1
B1
C1
-
4. 设d 为非零实数, an = 1
n [C1
nd + 2C2
nd2 + · · · + (n −1) Cn−1
n
dn−1 + nCn
ndn]
(n ∈N∗).
(1) 写出a1, a2, a3 并判断{an} 是否为等比数列. 若是, 给出证明; 若不是,
说明理由;
(2) 设bn = ndan (n ∈N∗), 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
-
5. 椭圆有两顶点A (−1, 0), B (1, 0), 过其焦点F (0, 1) 的直线l 与椭圆交于
C, D 两点, 并与x 轴交于点P. 直线AC 与直线BD 交于点Q.
(1) 当|CD| = 3
2
√
2 时, 求直线l 的方程;
(2) 当点P 异于A, B 两点时, 求证: # »
OP · # »
OQ 为定值.
x
y
O
A
B
P
D
Q
C
l
F
-
6. 已知函数f (x) = 2
3x + 1
2, h (x) = √x.
(1) 设函数F (x) = f (x) −h (x), 求F (x) 的单调区间与极值;
(2) 设a ∈R, 解关于x 的方程log4
[3
2f (x −1) −3
4
]
= log2h (a −x) −
log2h (4 −x);
(3) 试比较f (100) h (100) −
100
∑
k=1
6 的大小.
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