2011年大纲（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年大纲（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合U = {1, 2, 3, 4}, M = {1, 2, 3}, N = {2, 3, 4}, 则 ∁U (M ∩N) = ( ) 5分
   A. {1, 2} B. {2, 3} C. {2, 4} D. {1, 4}
2. 2. 函数y = 2√x (x ⩾0) 的反函数为 ( ) 4 (x ∈R) 4 (x ⩾0) 5分
   A. y = x2 B. y = x2 C. y = 4x2 (x ∈R) D. y = 4x2 (x ⩾0)
3. 3. 设向量a, b 满足|a| = |b| = 1, a · b = −1 2, 则|a + 2b| = ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 (C) √ 5 (D) √ 7 5分
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        x + y ⩽6, x −3y ⩽−2, x ⩾1, 则z=2x + 3y 的最小值为( ) 5分
   A. 17 B. 14 C. 5 D. 3
5. 5. 下面四个条件中, 使a > b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) 5分
   A. a > b + 1 B. a > b −1 C. a2 > b2 D. a3 > b3
6. 6. 设Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, 若a1 = 1, 公差d = 2, Sk+2−Sk = 24, 则k = ( ) 5分
   A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
7. 7. 设函数f (x) = cos ωx (ω > 0), 将y = f (x) 的图象向右平移π 3 个单位长 度后, 所得的图象与原图象重合, 则ω 的最小值等于 ( ) 3 5分
   A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
8. 8. 已知直二面角α −l −β, 点A ∈α, AC ⊥l, C 为垂足, 点B ∈β, BD ⊥l, ( ) (B) √ 3 (C) √ 2 5分
   D. 为垂足. 若AB = 2, AC = BD = 1, 则CD = A. 2 D. 1
9. 9. 4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门, 则恰有2 人选修课程甲 的不同选法共有 ( ) 5分
   A. 12 种 B. 24 种 C. 30 种 D. 36 种
10. 10. 设f (x) 是周期为2 的奇函数, 当0 ⩽x ⩽1 时, f (x) = 2x (1 −x), 则 f ( −5 2 ) = ( ) 2 4 4 2 5分
    A. −1 B. −1 C. 1 D. 1
11. 11. 设两圆C1、C2 都和两坐标轴相切, 且都过点(4, 1), 则两圆心的距离 |C1C2| = ( ) √ 2 √ 2 5分
    A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
12. 12. 已知平面α 截一球面得圆M, 过圆心M 且与α 成60◦二面角的平面β 截该球面得圆N. 若该球面的半径为4, 圆M 的面积为4π, 则圆N 的面 积为 ( ) 5分
    A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (1 −x)10 的二项展开式中, x 的系数与x9 的系数之差为 . 5分
2. 2. 已知α ∈ ( π, 3π 2 ) , tan α = 2, 则cos α = . 5分
3. 3. 已知正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E 为C1D1 的中点, 则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 5分
4. 4. 已知F1、F2 分别为双曲线C: x2 9 −y2 27 = 1 的左、右焦点, 点A ∈C, 点 M 的坐标为(2, 0), AM 为∠F1AF2 的平分线. 则|AF2| = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设等比数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知a2 = 6, 6a1 + a3 = 30, 求an 和 Sn.
2. 2. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 己知a sin A + c sin C − √ 2a sin C = b sin B. (1) 求B; (2) 若A = 75◦, b = 2, 求a, c.
3. 3. 根据以往统计资料, 某地车主购买甲种保险的概率为0.5, 购买乙种保险但 不购买甲种保险的概率为0.3. 设各车主购买保险相互独立. (1) 求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率; (2) 求该地3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 657
4. 4. 如图, 四棱锥S −ABCD 中, AB CD, BC ⊥CD, 侧面SAB 为等边三 角形. AB = BC = 2, CD = SD = 1. (1) 证明: SD⊥平面SAB; (2) 求AB 与平面SBC 所成角的大小. A C B D S
5. 5. 已知函数f (x) = x3 + 3ax2 + (3 −6a) x+12a −4 (a ∈R). (1) 证明: 曲线y = f (x) 在x = 0 处的切线过点(2, 2); (2) 若f (x) 在x = x0 处取得极小值, x0 ∈(1, 3), 求a 的取值范围.
6. 6. 已知O 为坐标原点, F 为椭圆C: x2 + y2 2 = 1 在y 轴正半轴上的焦 点, 过F 且斜率为− √ 2 的直线l 与C 交于A, B 两点, 点P 满足 # » OA + # » OB + # » OP = 0. (1) 证明: 点P 在C 上; (2) 设点P 关于点O 的对称点为Q, 证明: A, P, B, Q 四点在同一圆上. x y O A B F l 658

原卷配图（含真实几何/应用题图示）