2011年大纲（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年大纲（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数z = 1 + i, z 为z 的共轭复数, 则zz −z −1 = ( ) 5分
   A. −2i B. −i C. i D. 2i
2. 2. 函数y = 2√x (x ⩾0) 的反函数为 ( ) 4 (x ∈R) 4 (x ⩾0) 5分
   A. y = x2 B. y = x2 C. y = 4x2 (x ∈R) D. y = 4x2 (x ⩾0)
3. 3. 下面四个条件中, 使a > b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) 5分
   A. a > b + 1 B. a > b −1 C. a2 > b2 D. a3 > b3
4. 4. 设Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, 若a1 = 1, 公差d = 2, Sk+2−Sk = 24, 则k = ( ) 5分
   A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
5. 5. 设函数f (x) = cos ωx (ω > 0), 将y = f (x) 的图象向右平移π 3 个单位长 度后, 所得的图象与原图象重合, 则ω 的最小值等于 ( ) 3 5分
   A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
6. 6. 已知直二面角α −l −β, 点A ∈α, AC ⊥l, C 为垂足, B ∈β, BD ⊥l, D 为垂足. 若AB = 2, AC = BD = 1, 则D 到平面ABC 的距离等于( ) (A) √ 2 3 (B) √ 3 3 (C) √ 6 3 5分
   D. 1
7. 7. 某同学有同样的画册2 本, 同样的集邮册3 本, 从中取出4 本赠送给4 位 朋友, 每位朋友1 本, 则不同的赠送方法共有 ( ) 5分
   A. 4 种 B. 10 种 C. 18 种 D. 20 种
8. 8. 曲线y = e−2x + 1 在点(0, 2) 处的切线与直线y = 0 和y = x 围成的三角 形的面积为 ( ) 3 2 3 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 1
9. 9. 设f (x) 是周期为2 的奇函数, 当0 ⩽x ⩽1 时, f (x) = 2x (1 −x), 则 f ( −5 2 ) = ( ) 2 4 4 2 5分
   A. −1 B. −1 C. 1 D. 1
10. 10. 已知抛物线C: y2 = 4x 的焦点为F, 直线y = 2x −4 与C 交于A, B 两 点, 则cos ∠AFB = ( ) 5 5 5 5 5分
    A. 4 B. 3 C. −3 D. −4
11. 11. 已知平面α 截一球面得圆M, 过圆心M 且与α 成60◦二面角的平面β 截该球面得圆N. 若该球面的半径为4, 圆M 的面积为4π, 则圆N 的面 积为 ( ) 5分
    A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π
12. 12. 设向量a, b, c 满足|a| = |b| = 1, a · b = −1 2, ⟨a −c, b −c⟩= 60◦, 则|c| 的最大值等于 ( ) (B) √ 3 (C) √ 2 5分
    A. 2 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (1 −√x) 20 的二项展开式中, x 的系数与x9 的系数之差为 . 5分
2. 2. 已知α ∈ (π 2 , π ) , sin α = √ 5 5 , 则tan 2α = . 5分
3. 3. 已知F1、F2 分别为双曲线C: x2 9 −y2 27 = 1 的左、右焦点, 点A ∈C, 点 M 的坐标为(2, 0), AM 为∠F1AF2 的平分线. 则|AF2| = . 5分
4. 4. 己知点E, F 分别在正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱BB1, CC1 上, 且 B1E = 2EB, CF = 2FC1, 则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值 等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知A −C = 90◦, √ 2b, 求C.
2. 2. 根据以往统计资料, 某地车主购买甲种保险的概率为0.5, 购买乙种保险但 不购买甲种保险的概率为0.3. 设各车主购买保险相互独立. (1) 求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率; (2) X 表示该地的100 位车主中, 甲、乙两种保险都不购买的车主数. 求 X 的期望.
3. 3. 如图, 四棱锥S −ABCD 中, AB CD, BC ⊥CD, 侧面SAB 为等边三 角形. AB = BC = 2, CD = SD = 1. (1) 证明: SD⊥平面SAB; (2) 求AB 与平面SBC 所成角的正弦值. A C B D S 655
4. 4. 设数列{an} 满足a1 = 0 且 1 1 −an+1 − 1 1 −an = 1. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设bn = 1 −√an+1 √n , 记Sn = n∑ k=1 bk, 证明: Sn < 1.
5. 5. 已知O 为坐标原点, F 为椭圆C: x2 + y2 2 = 1 在y 轴正半轴上的焦 点, 过F 且斜率为− √ 2 的直线l 与C 交于A, B 两点, 点P 满足 # » OA + # » OB + # » OP = 0. (1) 证明: 点P 在C 上; (2) 设点P 关于点O 的对称点为Q, 证明: A, P, B, Q 四点在同一圆上. x y O A B F l
6. 6. (1) 设函数f (x) = ln (1 + x) − 2x x + 2, 证明: 当x > 0 时, f (x) > 0; (2) 从编号1 到100 的100 张卡片中每次随机抽取一张, 然后放回, 用这 种方式连续抽取20 次, 设抽得的20 个号码互不相同的概率为p. 证明: p < ( 9 10 )19 < 1 e2 . 656

原卷配图（含真实几何/应用题图示）