2011年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数1 −3i 1 −i = ( ) 5分
   A. 2 −i B. 2 + i C. −1 −2i D. −1 + 2i
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x ⩾1, x + y −4 ⩽0, x −3y + 4 ⩽0, 则目标函数z = 3x −y 的最 大值为 ( ) 3 5分
   A. −4 B. 0 C. 4 D. 4
3. 3. 阅读程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为−4, 则输出y 的值为( ) 开始 输入x |x| > 3? x = |x −3| y = 2x 输出y 结束 是 否 5分
   A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4
4. 4. 设集合 A = {x ∈R | x −2 > 0}, B = {x ∈R | x < 0}, C = {x ∈R | x (x −2) > 0}, 则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知a = log23.6, b = log43.2, c = log43.6, 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c D. c > a > b
6. 6. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左顶点与抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点的距离为4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点 坐标为(−2, −1), 则双曲线的焦距为 ( ) √ 3 √ 5 √ 3 √ 5 5分
   A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
7. 7. 已知函数f (x) = 2 sin (ωx + φ), x ∈R, 其中ω > 0, −π < φ ⩽π. 若 2 时, f (x) 取得最大值, 则 ( ) 5分
   F. (x) 的最小正周期为6π, 且当x = π A. f (x) 在区间[−2π, 0] 上是增函数 B. f (x) 在区间[−3π, −π] 上是增函数 C. f (x) 在区间[3π, 5π] 上是减函数 D. f (x) 在区间[4π, 6π] 上是减函数
8. 8. 对实数a 和b, 定义运算“⊗”: a ⊗b = { a, b, 设函数f (x) = (x2 −2) ⊗(x −1), x ∈R. 若函数y = f (x) −c 的图象与x 轴恰有两个公 共点, 则实数c 的取值范围是 ( ) 5分
   A. −b ⩽1, A. −b > 1. A. (−1, 1] ∪(2, +∞) B. (−2, −1] ∪(1, 2] C. (−∞, −2) ∪(1, 2] D. [−2, −1]

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知集合A = {x ∈R | |x −1| < 2}, Z 为整数集, 则集合A ∩Z 中所有元 素的和等于 . 5分
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示 (单位: m), 则这个几何体的体积 为 m3. 俯视图 正视图 侧视图 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 5分
3. 3. 已知{an} 为等差数列, Sn 为其前n 项和, n ∈N∗. 若a3 = 16, S20 = 20, 则S10 的值为 . 5分
4. 4. 已知log2a + log2b ⩾1, 则3a + 9b 的最小值为 . 5分
5. 5. 如图, 已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F, E 是AB 延长线上一点, 且DF = CF = √ 2, AF : FB : BE = 4 : 2 : 1. 若CE 与圆相切, 则CE 的长为 . A C D F 5分
   B. E
6. 6. 已知直角梯形ABCD 中, AD BC, ∠ADC = 90◦, AD = 2, BC = 1, P 是腰DC 上的动点, 则 # » PA + 3# » PB  的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 编号分别为A1, A2, · · · , A16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录 如下: 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 (1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; 区间 [10, 20) [20, 30) [30, 40] 人数 (2) 从得分在区间[20, 30) 内的运动员中随机抽取2 人, ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2 人得分之和大于50 的概率.
2. 2. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知B = C, 2b = √ 3a. (1) 求cos A 的值; (2) cos ( 2A + π 4 ) 的值. 707
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形, ∠ADC = 45◦, AD = AC = 1, O 为AC 中点, PO ⊥平面ABCD, PO = 2, M 为PD 中点. (1) 证明: PB 平面ACM; (2) 证明: AD ⊥平面PAC; (3) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值. O P M A B C D
4. 4. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2. 点P (a, b) 满足|PF2| = |F1F2|. (1) 求椭圆的离心率e; (2) 设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, 若直线 PF2 与圆 (x + 1)2 + ( y − √ 3 )2 = 16 相交于M, N 两点, 且|MN| = 5 8|AB|, 求椭圆的方程.
5. 5. 已知函数f (x) = 4x3 + 3tx2 −6t2x + t −1, x ∈R, 其中t ∈R. (1) 当t = 1 时, 求曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2) 当t̸ = 0 时, 求f (x) 的单调区间; (3) 证明: 对任意的t ∈(0, +∞), f (x) 在区间(0, 1) 内均存在零点.
6. 6. 已知数列{an} 与{bn} 满足: bn+1an + bnan+1 = (−2)n + 1, bn = 3 + (−1)n−1 2 , n ∈N∗, 且a1 = 2. (1) 求a2, a3 的值; (2) 设cn = a2n+1 −a2n−1, n ∈N∗, 证明: 数列{cn} 是等比数列; (3) 设Sn 为{an} 的前n 项和, 证明S1 a1 + S2 a2 +· · ·+ S2n−1 a2n−1 + S2n a2n ⩽n−1 3 (n ∈N∗). 708

原卷配图（含真实几何/应用题图示）