本卷为官方高考数学真题（2011年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. i 是虚数单位, 复数1 −3i
1 −i =
(
) 5分
A. 2 + i
B. 2 −i
C. −1 + 2i
D. −1 −2i
-
2. 设x, y ∈R, 则“x ⩾2 且y ⩾2”是“x2 + y2 ⩾4”的
(
) 5分
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
3. 阅读下面的程序框图, 运行相应的程序, 则输出i 的值为
(
)
开始
i = i + 1
输出i
结束
是
否 5分
A. = 1, i = 0
A. = i × a + 1
A. > 50?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
-
4. 已知{an} 为等差数列, 其公差为−2, 且a7 是a3 与a9 的等比中项, Sn 为
{an} 的前n 项和, n ∈N∗, 则S10 的值为
(
) 5分
A. −110
B. −90
C. 90
D. 110
-
5. 在
(√x
2 −2
√x
)6
的二项展开式中, x2 的系数为
(
)
4
4
8
8 5分
A. −15
B. 15
C. −3
D. 3
-
6. 如图所示, 在△ABC 中, D 是边AC 上的点, 且AB = AD, 2AB =
√
3BD, BC = 2BD, 则sin C 的值为
(
)
A
C
B
D
(A)
√
3
3
(B)
√
3
6
(C)
√
6
3
(D)
√
6
6 5分
-
7. 已知a = 5log23.4, b = 5log43.6, c =
(1
5
)log30.3
, 则
(
) 5分
A. a > b > c
B. b > a > c
C. a > c > b
D. c > a > b
-
8. 对实数a 与b, 定义运算“⊗”: a ⊗b =
{
a,
b,
设函数f (x) =
(x2 −2) ⊗(x −x2), x ∈R. 若函数y = f (x) −c 的图象与x 轴恰有两个
公共点, 则实数c 的取值范围是
(
)
(
−1, 3
2
)
(
−1, −3
4
)
(C)
(
−1, 1
4
)
∪
(1
4, +∞
)
(D)
(
−1, −3
4
)
∪
[1
4, +∞
) 5分
A. −b ⩽1,
A. −b > 1.
A. (−∞, −2] ∪
B. (−∞, −2] ∪
-
1. 一支田径队有男运动员48 人, 女运动员36 人, 若用分层抽样的方法从
该队的全体运动员中抽取一个容量为21 的样本, 则抽取男运动员的人数
为
. 5分
-
2. 一个几何体的三视图如图所示
(单位:
m),
则这个几何体的体积
为
m3.
俯视图
正视图
侧视图
1
3
3
2
1
1
2
3
3
• 5分
-
3. 已知抛物线C 的参数方程为
{
x = 8t2,
y = 8t,
(t 为参数), 若斜率为1 的直线经
过抛物线C 的焦点, 且与圆(x −4)2+y2 = r2 (r > 0) 相切, 则r =
. 5分
-
4. 如图, 已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F, E 是AB 延长线上一点,
且DF = CF =
√
2, AF : FB : BE = 4 : 2 : 1. 若CE 与圆相切, 则CE
的长为
.
A
C
D
F 5分
B. E
-
5. 已知集合A = {x ∈R | |x + 3| + |x −4| ⩽9}, B =
{
x ∈R | x =
4t + 1
t −6, t ∈(0, +∞)
}
, 则集合A ∩B =
. 5分
-
6. 已知直角梯形ABCD 中, AD
BC, ∠ADC = 90◦, AD = 2, BC = 1, P
是腰DC 上的动点, 则
# »
PA + 3# »
PB
的最小值为
. 5分
-
1. 已知函数f (x) = tan
(
2x + π
4
)
.
(1) 求f (x) 的定义域与最小正周期;
(2) 设α ∈
(
0, π
4
)
, 若f
(α
2
)
= 2 cos 2α, 求α 的大小.
-
2. 学校游园活动有这样一个游戏项目: 甲箱子里装有3 个白球、2 个黑球, 乙
箱子里装有1 个白球、2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同, 每次游戏从这
两个箱子里各随机摸出2 个球, 若摸出的白球不少于2 个, 则获奖. (每次
游戏结束后将球放回原箱)
(1) 求在一次游戏中,
①摸出3 个白球的概率;
②获奖的概率;
(2) 求在两次中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X).
705
-
3. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, H 是正方形AA1B1B 的中心,
AA1 = 2
√
2, C1H ⊥平面AA1B1B, 且C1H =
√
5.
(1) 求异面直线AC 与A1B1 所成角的余弦值;
(2) 求二面角A −A1C1 −B1 的正弦值;
(3) 设N 为棱B1C1 的中点, 点M 在平面AA1B1B 内, 且MN ⊥平面
A1B1C1, 求线段BM 的长.
A1
B1
C1
A
B
C
H
-
4. 在平面直角坐标系xOy 中, 点P (a, b) (a > b > 0) 为动点, F1, F2 分别为
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 的左、右焦点. 已知△F1PF2 为等腰三角形.
(1) 求椭圆的离心率e;
(2) 设直线PF2 与椭圆相交于A, B 两点, M 是直线PF2 上的点, 满足
# »
AM · # »
BM = −2, 求点M 的轨迹方程.
-
5. 已知a > 0, 函数f (x) = ln x −ax2, x > 0. (f (x) 的图象连续不断)
(1) 求f (x) 的单调区间;
(2) 当a = 1
8 时, 证明: 存在x0 ∈(2, +∞), 使f (x0) = f
(3
2
)
;
(3) 若存在均属于区间[1, 3] 的α, β, 且β −α ⩾1, 使f (α) = f (β), 证明:
ln 3 −ln 2
5
⩽a ⩽ln 2
3 .
-
6. 已知数列{an} 与{bn} 满足: bnan+an+1+bn+1an+2 = 0, bn = 3 + (−1)n
2
,
n ∈N∗, 且a1 = 2, a2 = 4.
(1) 求a3, a4, a5 的值;
(2) 设cn = a2n−1 + a2n+1, n ∈N∗, 证明: {cn} 是等比数列;
(3) 设Sk = a2 + a4 + · · · + a2k, k ∈N∗, 证明:
4n
∑
k=1
Sk
ak
< 7
6 (n ∈N∗).
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